[2002-ordin.suppletiva]Quesito9. Dato un tetraedro
regolare, si consideri il quadrilatero avente per vertici i punti
medi degli spigoli di due facce. Dimostrare che si tratta di un
quadrato.
Con riferimento alla figura a lato, nel quadrilatero
KLMN :
il lato LM è uguale e parallelo al lato KN perché entrambi
paralleli allo spigolo AB ed uguali alla metà di esso ( per una
nota proprietà dei triangoli)
analogamente il lato NM è uguale e parallelo al lato KL
perché entrambi paralleli allo spigolo VC ed uguali alla metà
di esso
Essendo gli spigoli del tetraedro regolare uguali fra loro , i quattro lati sono uguali fra loro e a due a due
paralleli
Per verificare che si tratta di un quadrato possiamo procedere in 2 modi
1) METODO TRIGONOMETRICO
Determiniamo la lunghezza della diagonale MK sapendo che nel triangolo VBK
dove
è la lunghezza dello spigolo
( Teorema di Carnot) →
Applicando ora il Teorema di Carnot al triangolo MBK dove
→
Questo prova che il quadrilatero KLMNè un quadrato
2) METODO GEOMETRICO
Ricordiamo che gli spigoli opposti , come AB e VC, sono
sghembi, ma hanno direzioni tra loro ortogonali.
Infatti, per il teorema delle 3 perpendicolari, la retta AB è perpendicolare al piano
VBC
Anche le rette KL , parallela a VC , e KN, parallela ad AB, hanno
direzioni ortogonali e pertanto formano un angolo retto.
Il quadrilatero KLMN è quindi un rombo con un angolo retto ,
cioè un quadrato.
