[2002-ordin.suppletiva]Quesito9. Dato un tetraedro regolare, si
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[2002-ordin.suppletiva]Quesito9. Dato un tetraedro regolare, si consideri il quadrilatero avente per vertici i punti medi degli spigoli di due facce. Dimostrare che si tratta di un quadrato. Con riferimento alla figura a lato, nel quadrilatero KLMN : il lato LM è uguale e parallelo al lato KN perché entrambi paralleli allo spigolo AB ed uguali alla metà di esso ( per una nota proprietà dei triangoli) analogamente il lato NM è uguale e parallelo al lato KL perché entrambi paralleli allo spigolo VC ed uguali alla metà di esso Essendo gli spigoli del tetraedro regolare uguali fra loro , i quattro lati sono uguali fra loro e a due a due paralleli Per verificare che si tratta di un quadrato possiamo procedere in 2 modi 1) METODO TRIGONOMETRICO Determiniamo la lunghezza della diagonale MK sapendo che nel triangolo VBK dove è la lunghezza dello spigolo ( Teorema di Carnot) → Applicando ora il Teorema di Carnot al triangolo MBK dove → Questo prova che il quadrilatero KLMNè un quadrato 2) METODO GEOMETRICO Ricordiamo che gli spigoli opposti , come AB e VC, sono sghembi, ma hanno direzioni tra loro ortogonali. Infatti, per il teorema delle 3 perpendicolari, la retta AB è perpendicolare al piano VBC Anche le rette KL , parallela a VC , e KN, parallela ad AB, hanno direzioni ortogonali e pertanto formano un angolo retto. Il quadrilatero KLMN è quindi un rombo con un angolo retto , cioè un quadrato.
