Definizioni, postulati e assiomi

Cap. 2 Definizioni,
postulati e assiomi
Definizioni
 Una delle cose che rende la geometria e
le discipline scientifiche “materie difficili”
sono le definizioni
 Vediamo cosa significa definire
 Definire : determinare il contenuto di un
concetto, dichiarare con brevi e precise
parole le qualità essenziali di una cosa,
in modo da distinguerla nettamente da
un’altra
 Analizziamo “dichiarare con brevi e precise





parole le qualità essenziali di una cosa”
Una definizione deve essere:
breve (non può essere resa tramite esempi e
deve avere il minor numero di termini possibili)
essenziale (al suo interno non deve contenere
termini superflui o che la abbelliscono)
precisa: non può essere adatta a due o più
cose ma solo ad una
In pratica per ottenere il massimo punteggio
dovete rispettare queste regole e questo non è
affatto semplice
Es. definizione di quadrato





Analizziamo le seguenti definizioni:
Il quadrato è un quadrilatero
Il quadrato è un poligono con tutti i lati uguali
Il quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali
Sono tutte definizioni brevi, esenti da termini
superflui ma nessuna di esse è pertinente
 Pur essendo il quadrato un quadrilatero e un
poligono con tutti i lati uguali nessuna delle due
è precisa (la prima va bene anche per rettangolo,
parallelogramma ecc. la seconda per tutti i poligoni
equilateri, la valutazione va sotto la sufficienza)
 La terza definizione combina le prime due
entrambe parzialmente vere pertanto ha un
contenuto informativo maggiore, continua ad
essere breve e ad utilizzare parole precise ma
continua ad essere adatta a più cose
 Raggiunge sicuramente la sufficienza ma non il
punteggio massimo
 Le seguenti due figure sono entrambe ben
descritte dalla nostra proposizione
Definizione scientifica
 La definizione scientifica e sicuramente
più complessa di una definizione
normale perché utilizza un linguaggio
specifico
 Un linguaggio si dice specifico se
appartiene ad una particolare disciplina
 La prossima diapositiva vi mostrerà
diverse definizioni di quadrato, tutte
corrette ma la cui valutazione può essere
differente
Definizione di quadrato
 Il quadrato è un quadrilatero con tutti gli
angoli e i lati uguali (punteggio 8 ½)
 Quadrilatero angolo e lato fanno parte del
linguaggio specifico della disciplina
 Omettere le parole è un quadrilatero e
inserire “poligono che ha quattro lati uguali
e quattro angoli retti” porta ad una
definizione che manca del carattere di
brevità (punteggio 8)
 Il quadrato è un quadrilatero con tutti gli




angoli e i lati congruenti (punteggio 9)
La parola congruente appartiene al
linguaggio specifico della geometria perciò
la definizione ha un utilizzo migliore del
linguaggio specifico
Il quadrato è un quadrilatero equilatero ed
equiangolo (punteggio 10)
C’è un uso preciso del linguaggio specifico
e una definizione più breve
equilatero equiangolo
 Se l’insegnante ha spiegato i poligoni
regolari (poligoni che sono contemporaneamente equilateri ed
equiangoli) allora la definizione giusta per
ottenere il massimo punteggio è:
Il quadrato è un
quadrilatero regolare
Definizione di postulato
 Dal dizionario della Treccani
 postulato dal lat. postulatum «ciò che è
richiesto; richiesta»
 Proposizione che, senza essere evidente
né dimostrata, si assume come
fondamento di una dimostrazione o di una
teoria
 i postulati fanno riferimento ad una materia
particolare
Definizione di assioma
 L’assioma è un principio certo ed evidente
senza ulteriori indagini che costituisce la
base per ulteriori ricerche
 Gli assiomi hanno una validità più
generale dei postulati e sono alla base di
più discipline
I postulati di Euclide






Insieme agli enti geometrici fondamentali la geometria
euclidea utilizza 5 postulati per rendere coerente la
sua struttura.
1 Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed
una sola retta.
2 Si può prolungare un segmento oltre i due punti
indefinitamente.
3 Dato un punto (centro) e una lunghezza (raggio), è
possibile descrivere un cerchio.
4 Tutti gli angoli retti sono uguali.
5 Se una retta taglia altre due rette determinando dallo
stesso lato angoli interni la cui somma è minore di
quella di due angoli retti, prolungando le due rette,
esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei
due angoli è minore di due retti.
Primo postulato
Punto A
Punto B
Retta r
È evidente che qualsiasi altra retta non
passerà per i due punti
Terzo postulato
Punto A (centro)
Lunghezza
Circonferenza
Per definire un
circonferenza basta
prendere un punto
come centro e una
lunghezza come
raggio
Gli assiomi
1. Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
loro. A = B B = C  A = C [proprietà transitiva]
Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le
somme ottenute sono uguali.
Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti
rimanenti sono uguali.
Se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le
somme ottenute sono disuguali.
I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro.
Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro.
Cose che coincidono tra loro sono uguali.
A = B B = A [proprietà riflessiva]
Il tutto è maggiore della parte.
Metodo assiomatico deduttivo
 … roba da panico!!!!!!
 Chiunque di voi leggendo queste tre parole si porrà questa
domanda …. “ma che roba è …”
 L’unica speranza risiede nel vocabolario
 Metodo In genere, il modo, la via, il procedimento seguito nel
perseguire uno scopo, secondo un ordine e un piano
prestabiliti in vista del fine che s’intende raggiungere
 Assiomatico che fa uso di assiomi, principi assunti come veri
senza dimostrazione perché evidenti
 Deduttivo il metodo da usare è basato soltanto sul
ragionamento senza far ricorso all’esperienza nel corso del
suo sviluppo
La geometria
euclidea fa uso del metodo
assiomatico-deduttivo perché partendo
dagli enti geometri fondamentali (3)
e dai postulati (5),
riesce a dimostrare,
col puro ragionamento,
tutto il resto utilizzando
proposizioni già dimostrate