Esame di Probabilità ed Inferenza Statistica
16 Luglio 2003
docente: Prof.ssa J. Mortera
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I quesiti in corsivo hanno carattere teorico. La prova si ritiene superata se si raggiunge la
sufficienza sia sugli esercizi sia sulla parte teorica.
1. [8] Ogni ghinea coniata dalla Zecca della Corona Britannica nel diciottesimo secolo
doveva pesare 128 grani. Sul peso complessivo di 1000 ghinee, veniva tollerata una
differenza di 640 grani (1/200 del peso complessivo). Se la differenza fosse stata
superiore a questo limite, il capo della Zecca passava dei guai.
1. Supponete che il capo della Zecca produca ghinee con peso medio 128 grani e
deviazione standard 128/200. Con quale probabilità 1000 ghinee scelte a caso
superano il controllo?
2. Che succede se il capo della Zecca produce ghinee con peso medio 127,4 grani (la
deviazione standard rimane inalterata)?
3. Nella situazione del punto 2, se viene fatto un controllo l'anno, con quale
probabilità il capo della Zecca passa indenne il controllo per tre anni consecutivi?
2. [6] Il numero di clienti che si presentano ad uno sportello bancario in un giorno è descritto
da una variabile casuale X con distribuzione di Poisson di parametro , cioè
x
, x0 e 0
f ( x; ) e
x!
Al fine di stimare , è stato rilevato per cinque giorni il numero di clienti che si sono
presentati a questo sportello e si è osservato: 12, 10, 4, 10, 18.
a) Determinate lo stimatore di massima verosimiglianza di .
b) Calcolarne la stima in corrispondenza del campione osservato.
c) Definire la proprietà di consistenza di uno stimatore. Lo stimatore trovato è anche
consistente?
3. [3] Enunciare e dimostrare il teorema di Bayes.
4. [6] Il ricavo delle vendite del libro di barzellete del calciatore della Roma Francesco Tott,
viene devoluto in benificienza. Viene intervistato un campione casuale di 150 persone della
provincia di Roma chiedendo se hanno acquistato il libro. Di queste persone 60 dichiarano di
avere acquistato il libro.
a) Costruire un intervallo di confidenza al livello 1-=0.7 per la proporzione di soggetti che
acquisteranno il libro;
b) verificare al livello =0.05 l’ipotesi nulla che la proporzione di soggetti (della provincia
di Roma) che acquisteranno il prodotto sia superiore al 25%.
5. [2] Se Z è una variabile casuale standardizzata, il valore di E(Z2) è
A
non ho sufficienti dati per calcolarlo
B
1
C
0
D
1 se Z è normale
6.[4] Dare una spiegazione breve della/e scelta/e: Dati due eventi A e B si ha:
a. Pr(AB)-Pr(AB)Pr(A)
b. Pr ( AB)+Pr( A B )=1-Pr(A)
c. Pr( A|B)= Pr( A) se A e B sono indipendenti.
1
6. [5] E’ finito il campionato e la Roma vuole cambiare il portiere. Sul mercato ci sono
Buffon e Toldo e la Roma non sa quale dei due scegliere. Consulta uno statistico che si
guarda le registrazioni delle partite e vede che in un campione casuale di 70 tiri in porta da
area di rigore, Buffon ne ha parati 65 e Toldo 60.
a) C’è sufficiente evidenza per preferire Buffon a Toldo?
b) Costruire l’intervallo di confidenza per la probabilità di parata di Buffon. Usare il livello
di confidenza 0,75.
c) Quanti tiri in porta dovrebbe guardare lo statistico affinché la lunghezza massima
dell’intervallo sia dimezzata?
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