Classe 5E
Disciplina: MATEMATICA
Docente: Lorenzo Galante
Anno Scolastico: 2006 – 2007
PROGRAMMA SVOLTO
FUNZIONE
Concetto di funzione reale di variabile reale (3 punti di vista insiemistica, algebrico e grafico);
Funzione esponenziale e logaritmica ( primo accenno alle funzioni inverse);
Funzioni composte;
Studio di funzioni (ricerca di eventuali simmetrie della funzione, determinazione del Dominio,
intersezione con asse delle ordinate, segno e zeri della funzione, limiti agli estremi del dominio,
limiti intorno ai punti di discontinuità, studio della derivata prima e ricerca di eventuali punti di
massimo relativo e di minimo relativo, studio della derivata seconda e ricerca di eventuali flessi);
Studio di funzione di una curva gaussiana;
Rappresentazione di un prodotto di una funzione oscillante e di una funzione non oscillante;
Grafico delle curve di equazione
y f ( x ) , y f ( x p) , y f (x p), y f ( x ) p , y f ( x ) , y f (x ) , y p * f ( x ) , y f ( px ) a partire
dal grafico della curva y = f(x);
Funzione Iniettiva e funzione Inversa;
Funzioni strettamente monotone e funzioni monotone;
La Monotonia di una funzione è condizione sufficiente ma non necessaria per l’invertibilità.
Grafico di una funzione inversa a partire dalla funzione diretta (simmetria rispetto alla bisettrice
primo e terzo quadrante)
Grafico delle funzioni inverse principali (arcoseno, arcocoseno, arcotangente)
Funzioni Continue
Definizione di funzione continua in un punto;
Definizione di Insieme Superiormente (Inferiormente) Limitato, maggiorante e minorante di un
insieme;
Definizione di Insieme Limitato;
Definzione di massimo e minimo di un insieme;
Definizione di estremo superiore e inferiore di un insieme;
Teorema della permanenza del segno (senza dimostrazione)
Teorema dell’esistenza degli zeri (senza dimostrazione)
Teorema di Bolzano (senza dimostrazione)
****????*****
Teorema: una funzione continua in un intervallo chiuso è limitata
Teorema di Weierstrass (con dimostrazione)
Funzioni Derivabili
Definizione di funzione derivabile in un punto;
Teorema di Rolle (con dimostrazione)
Teorema di Lagrange (senza dimostrazione)
Teorema di Cauchy (senza dimostrazione)
Teorema di De L’Hopital (senza dimostrazione)
LIMITI
Definizione di intervallo in R, intervallo aperto e chiuso, ampiezza di un intervallo
Definizione di intorno di centro x0 e raggio r; intorno di infinito di raggio M;
Successioni, definizione di una successione convergente; definizione di una successione divergente;
successione irregolare;
Limiti di funzioni reali definizione e loro verifica
lim f ( x ) l , lim f ( x ) l , lim f ( x ) , lim f ( x ) ;
x a
x
x a
x
quando una funzione si dice infinitesima per x a ;
quando una funzione si dice infinita per x a ;
date due funzioni infinite per x a , come stabilire quale delle due è infinito di ordine superiore;
date due funzioni infinitesime per x a , come stabilire quale delle due è infinitesimo di ordine
superiore;
Qual è la condizione necessaria perché una f(x) abbia un asintoto verticale;
Qual è la condizione necessaria perché una f(x) abbia un asintoto orizzontale;
Calcolo dell’equazione di un asintoto obliquo di una funzione;
0
forme indeterminate ( , , )
0
limiti notevoli:
x
1
sin x
1 cos x
cos x 1
tg x
1
ax 1
x
lim
, lim
, lim
, lim
, lim 1 , lim 1 x , lim
x 0
x 0
x 0
x 0 x
x
x 0
x
x
x x 0
x
x2
DERIVATE
Derivata di una funzione come limite del rapporto incrementale della funzione;
Significato geometrico della derivata di una funzione;
df dy
Simbolismi per indicare la derivata di una funzione ( f ' ( x ), y ' ( x ) ,
);
,
dx dx
Formula per il calcolo della derivata di un rapporto di funzioni (no dimostrazione);
Formula per il calcolo della derivata di un prodotto di funzioni (no dimostrazione);
Formula per il calcolo della derivata della funzione seno, coseno e tangente (no dimostrazione);
Formule per il calcolo della derivata di funzioni logaritmiche ed esponenziali (no dimostrazione);
Derivata di una funzione composta;
Derivata di una funzione inversa;
Equazione di una retta tangente ad una curva in un suo punto di ascissa data;
Definizione di massimo relativo e di minimo relativo di una f(x)
Ricerca dei massimi e dei minimi relativi di una f(x);
Teorema: condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione, che in x = a ha f’(a) = 0, abbia
un massimo relativo in x = a è che f “ (a) <0 (senza dimostrazione rigorosa, ma con giustificazione
grafica intuitiva)
Definizione di punto di flesso.
Ricerca dei punti di flesso di una funzione.
INTEGRALI
L’integrale: area compresa fra il grafico di una curva e l’asse delle ascisse;
Il teorema fondamentale del calcolo integrale;
Le primitive di f(x);
Come si calcolano gli integrali: differenza di primitive valutate negli estremi di integrazione;
Integrali indefiniti fondamentali;
Tecnica di integrazione Per Parti (senza dimostrazione);
Integrazione per sostituzione e alcune sostituzioni utili;
Integrazione di funzioni razionali fratte: integrali di frazioni proprie con zeri distinti; integrali di
frazioni proprie con zeri coincidenti;
Formula per il calcolo dei volumi dei solidi di rotazione;
Risoluzione di disequazioni con il metodo grafico: disequazioni fratte, disequazioni polinomiali,
disequazioni modulari; disequazioni irrazionali
