Programma del corso
Probabilità e Processi Socastici
svolto da
Michele Gianfelice
per l'a.a. 2013/2014
[email protected]
http://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/didattica.html
Revisione delle nozioni fondamentali della teoria della misura e del calcolo delle
probabilità
- definizione di algebra di Boole e sigma-algebra di elementi di un insieme
- sigma-algebra generata da una collezione d'insiemi
- classi monotone d'insiemi e connessione tra quasta nozione e quella di sigma-algebra
- misure di probabilità
- applicazioni tra spazi misurabili, variabili aleatorie e vettori aleatori
- spazi di probabilità, funzione di distribuzione di una variabile aleatoria e di un vettore aleatorio
(v.a.)
- disuguaglianza di Markov-Chebichev generalizzata
- attesa condizionata e probabilità condizionata rispetto ad una sigma-algebra
- attesa condizionata rispetto ad una v.a.
- correlazione tra eventi
- versione regolare di una probabilità condizionata
- attesa condizionata come operatore di proiezione nello spazio di Hilbert delle funzioni a
quadrato sommabile
- indipendenza di sigma-algebre
- indipendenza di vv.aa.
Successioni di variabili aleatorie
- convergenza quasi certa
- convergenza in probabilità
- convergenza in media di ordine p, p>0
- convergenza in distribuzione (o in legge, o convergenza debole di una successione di misure
di probabilità)
- relazioni tra le varie nozioni di convergenza di v.a.
- lemma di Borel-Cantelli (Legge 0-1 di Borel)
Funzione caratteristica di una v.a.
- definizione e proprietà della funzione caratteristica di una v.a.
- teorema di unicità
- formula d'inversione
- relazione tra convergenza in distribuzione di una successione di variabili aleatorie e
convergenza puntuale della successione associata delle funzioni caratteristiche, teorema di
continuità.
- legge debole dei grandi numeri per v.a.i.i.d.
- teorema del limite centrale per v.a.i.i.d.
Martingale a tempo discreto
- tempi d'arresto
- martingala arrestata
- trasformata Martingala
- decomposizione di Doob-Meyer
- L^2-martingale
- esempi:
- martingala come gioco equo
- teorema di Radon-Nikodym per funzioni lipshitziane su [0,1]
- rovina del giocatore
Processi stazionari (in senso stretto)
- lo spazio delle traiettorie di un processo stocastico a tempo discreto a valori reali
- Legge 0-1 di Kolmogorov
- teorema ergodico per succesioni di vv.aa. stazionarie
- catene di Markov a stati finiti o numerabili
- la distribuzione di probabilità sullo spazio delle traiettorie del processo che
caratterizza una catena di Markov
- teorema ergodico per catene di Markov a stati finiti
- catene di Markov omogenee
- classificazione degli stati secondo le proprietà aritmetiche degli elementi della
matrice di transizione in n passi
- proprietà di Markov forte
- classificazione degli stati secondo le delle proprietà asintotiche della
matrice di transizione in n passi
Bibliografia:
Appunti del corso forniti dal docente reperibili alla url
https://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/P&PS/appti_P&PS.pdf
https://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/P&PS/Leggi_0-1n.pdf
A. N. Shiryaev Probability ( Second Edition) Springer-Verlag 1995
cap.I par.12 e cap.VIII parr. 2 e 3.
