Programma del corso
annuncio pubblicitario
Programma del corso Probabilità e Processi Socastici svolto da Michele Gianfelice per l'a.a. 2013/2014 [email protected] http://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/didattica.html Revisione delle nozioni fondamentali della teoria della misura e del calcolo delle probabilità - definizione di algebra di Boole e sigma-algebra di elementi di un insieme - sigma-algebra generata da una collezione d'insiemi - classi monotone d'insiemi e connessione tra quasta nozione e quella di sigma-algebra - misure di probabilità - applicazioni tra spazi misurabili, variabili aleatorie e vettori aleatori - spazi di probabilità, funzione di distribuzione di una variabile aleatoria e di un vettore aleatorio (v.a.) - disuguaglianza di Markov-Chebichev generalizzata - attesa condizionata e probabilità condizionata rispetto ad una sigma-algebra - attesa condizionata rispetto ad una v.a. - correlazione tra eventi - versione regolare di una probabilità condizionata - attesa condizionata come operatore di proiezione nello spazio di Hilbert delle funzioni a quadrato sommabile - indipendenza di sigma-algebre - indipendenza di vv.aa. Successioni di variabili aleatorie - convergenza quasi certa - convergenza in probabilità - convergenza in media di ordine p, p>0 - convergenza in distribuzione (o in legge, o convergenza debole di una successione di misure di probabilità) - relazioni tra le varie nozioni di convergenza di v.a. - lemma di Borel-Cantelli (Legge 0-1 di Borel) Funzione caratteristica di una v.a. - definizione e proprietà della funzione caratteristica di una v.a. - teorema di unicità - formula d'inversione - relazione tra convergenza in distribuzione di una successione di variabili aleatorie e convergenza puntuale della successione associata delle funzioni caratteristiche, teorema di continuità. - legge debole dei grandi numeri per v.a.i.i.d. - teorema del limite centrale per v.a.i.i.d. Martingale a tempo discreto - tempi d'arresto - martingala arrestata - trasformata Martingala - decomposizione di Doob-Meyer - L^2-martingale - esempi: - martingala come gioco equo - teorema di Radon-Nikodym per funzioni lipshitziane su [0,1] - rovina del giocatore Processi stazionari (in senso stretto) - lo spazio delle traiettorie di un processo stocastico a tempo discreto a valori reali - Legge 0-1 di Kolmogorov - teorema ergodico per succesioni di vv.aa. stazionarie - catene di Markov a stati finiti o numerabili - la distribuzione di probabilità sullo spazio delle traiettorie del processo che caratterizza una catena di Markov - teorema ergodico per catene di Markov a stati finiti - catene di Markov omogenee - classificazione degli stati secondo le proprietà aritmetiche degli elementi della matrice di transizione in n passi - proprietà di Markov forte - classificazione degli stati secondo le delle proprietà asintotiche della matrice di transizione in n passi Bibliografia: Appunti del corso forniti dal docente reperibili alla url https://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/P&PS/appti_P&PS.pdf https://www.mat.unical.it/~gianfelice/didattica/P&PS/Leggi_0-1n.pdf A. N. Shiryaev Probability ( Second Edition) Springer-Verlag 1995 cap.I par.12 e cap.VIII parr. 2 e 3.
