Soluzione di Adriana Lanza Quesito 8 In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani sono assegnati i punti A(0,1), B(0,4). Si determini sul semiasse positivo delle ascisse un punto C dal quale il segmento AB è visto con un angolo di massima ampiezza SOLUZIONE Si può scegliere più di una strategia risolutiva. Considerazioni generali a)Il punto C ha coordinate (x;0) con x>0. L’angolo B , essendo angolo esterno del triangolo rettangolo AOC, è necessariamente ottuso, qualunque sia la posizione di C .Nel triangolo ABC l’angolo di vertice C è necessariamente acuto. b)E’ possibile determinare l’ampiezza α dell’angolo servendosi di una delle tre funzioni goniometriche fondamentali sen α, cos α ,tg α. Nell’intervallo 0< α< : massimizzare α equivale a massimizzare sen α e tg α che sono strettamente crescenti massimizzare α equivale a minimizzare cos α che è strettamente decrescente c) Una figura dinamica, costruita per esempio con Geogebra, mostra come l’ampiezza dell’angolo sia vicina a 0 quando C è vicino all’origine, assume un valore massimo quando C ha ascissa 2, tende di nuovo a 0 quando C si allontana verso l’infinito 1 Soluzione di Adriana Lanza Primo metodo Sia Essendo tg = 4/x e tg =1/x sarà Determiniamo il massimo della funzione f(x)= nell’intervallo x>0 col metodo delle derivate, dopo aver osservato che La derivata prima f’(x) = , nel suddetto intervallo si annulla per x=2 ed è positiva per 0≤x<2 f’(x) 0____________________2---------------------------------------------_ f(x) La posizione di C per cui il valore α è massimo è C(2;0) In corrispondenza tg α= ¾ α= 36° 52’ 2 e quindi Soluzione di Adriana Lanza Secondo metodo Consideriamo la circonferenza passane per A, B e C sia r il suo raggio. 1)Dal Teorema della corda si deduce che sen α= Sen α, e quindi α, è massimo quando r è minimo. 2)Indichiamo con p l’ascissa di C e determiniamo, in funzione di p, l’equazione della circonferenza x2+y2+ax+by+c=0 imponendo il passaggio per i tre punti impostando il seguente sistema Che ammette la soluzione A questi valori corrispondono Il centro il valore di r = 3 = Soluzione di Adriana Lanza Osserviamo che al variare di p il centro G della circonferenza ha ordinata costante ( G si muove sulla retta x=-5/2 , asse del segmento AB) quindi il raggio avrà valore minimo quando sarà minimo il valore dell’ascissa ( G è più vicino ad A e a B) Determiniamo il minimo richiesto studiando il segno della derivata della funzione di p + nell’intervallo p>0 La derivata è x’(p)= Studio del segno = e si annulla per p =2 0------------------------------2____________________________ In corrispondenza del valore p=2 , pertanto, si ha la circonferenza di raggio minimo Centro G(2;5/2) raggio r = 5/2 Sen α = →α=36 52’ La circonferenza è tangente all’asse x Allo stesso risultato si perviene calcolando il minimo di r, ovvero di r 2, al variare di p nell’intervallo p>0 4 Soluzione di Adriana Lanza La derivata prima della funzione si annulla quando p4=16 ovvero in corrispondenza dell’unico valore accettabile p=2→ r= 5/2. In corrispondenza si ha un minimo, come si deduce dallo studio del segno della derivata 0-----------------------------2_______________________ Terzo metodo Determiniamo in funzione di x le lunghezze dei lati del triangolo ABC Dal Teorema di Carnot cos α È possibile determinare cos α= La derivata prima Nell’intervallo x>0, è negativa per x<2 e positiva per x>2 Studio del segno Per x=2 5 0------------------------------2____________________________ cos α assume valore minimo e α assume valore massimo