Soluzioni di Adriana Lanza
QUESITO.1 In cima ad una roccia a picco sulla riva di un fiume è stata costruita una
torretta d’osservazione alta 11 metri. Le ampiezze degli angoli di depressione per un punto
situato sulla riva opposta del fiume, misurate rispettivamente dalla base e dalla sommità
della torretta, sono pari a 18° e 24°. Si determini la larghezza del fiume in quel punto.
Altezza della torretta
Larghezza del fiume
Dalla relazione
Si trova x ≈ 91 m
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33 x a x
, dove a è una costante reale
6 x 5x
positiva, si determini tale costante, sapendo che lim f ( x) 2 .
QUESITO2Considerata la funzione f ( x)
x0
Il limite può essere calcolato applicando la regola di de l H pital
Imponendo che il risultato sia uguale a 2
=
→
→a=
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QUESITO3. Su un piano orizzontale α si pongono
un cono circolare retto, il cui raggio di base è r e
l’altezza 2r, e una sfera di raggio r. A quale distanza
x dal piano α bisogna segare questi due solidi con un
piano orizzontale ß, perché la somma delle aree delle sezioni così ottenute sia massima?
La figura seguente rappresenta le sezioni mediane dei due solidi
Le sezioni col piano ß sono , rispettivamente , un cerchio di raggio DH e un cerchio di raggio KF
Si ha inoltre
0≤x≤2r
Dalla similitudine dei triangoli VDE e VAB si deduce
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CFK si trova
=
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La somma delle aree delle due sezioni è
(2rx-
) =
S(x) rappresenta una parabola con la concavità rivolta verso il basso.
L’ascissa del vertice
è compresa nell’intervallo di variabilità dell’incognita e rappresenta il punto
di massimo per la funzione
QUESITO4. Si dimostri che per gli zeri x1 e x2 di una funzione f ( x) ax 2 bx c vale la relazione
f ' ( x1 ) f ' ( x2 ) 0 e si dia una interpretazione geometrica della affermazione dimostrata.
Poiché f’(x) =2ax+b, si deve dimostrare che
2ax1+b+2ax2+b= 2a(x1+x2)+2b
Ricordando che , per le proprietà delle radici di un ‘equazione
di secondo grado, x1+x2= -b/a si ottiene
-2b+2b=0 c.v.d.
Se non si vuol ricorrere alla suddetta formula, si può scrivere
f(x) nella forma
a(x-x1)(x-x2)→ f’(x) = a(x-x2)+a(x-x1)
da cui f’(x1) = a(x1-x2)
f’(x2) = a(x2-x1)→ f’(x1)+f’(x2)=0
Significato geometrico
f’(x1) e f’(x2) rappresentano i coefficienti angolari delle rispettive rette tangenti, nei punti in cui la parabola ,
associata ad f(x), incontra l’asse delle x.
Data la simmetria della curva rispetto all’asse della parabola(retta parallela all’asse y), le due tangenti
devono avere coefficienti angolari uguali e opposti
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e x ( x 1)
QUESITO5. Si calcoli il valore medio della funzione f ( x)
, nell’intervallo 1 ≤ x ≤ 2
x2
Valor medio
.
dx =[
=
Calcolo della funzione primitiva (Integrazione per parti )
(x
=
