Istituzioni di analisi matematica

UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI PARMA
1.FACOLTA'
DI ARCHITETTURA – CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELL'ARCHITETTURA
2.ISTITUZIONI DI ANALISI MATEMATICA
Docente responsabile: Prof. Anneliese Defranceschi
3.Ricevimento studenti:
4.Funzioni Reali di più variabili: limiti e continuità
Funzioni reali di più variabili: positive (negative, nulle), limitate superiormente (inferiormente), limitate.
Punti di massimo (minimo), valore massimo (minimo).
Grafico di una funzione. Curve (insiemi) di livello per una funzione di due variabili.
Distanza euclidea in Rn . Punti interni, di frontiera, punti isolati, punti di accumulazione; insiemi chiusi
e aperti.
Definizione di limite per funzioni in più variabili. Unicità e proprietà algebriche. Forme indeterminate. Limite
delle restrizioni. Teorema del confronto (dei 2 carabinieri). Uso delle coordinate polari per il calcolo di limiti di
funzioni reali in due variabili.
Definizione di limite infinito di una funzione e di limite all’infinito ( ||x||? ).
Definizione di continuità per funzioni reali di più variabili. Teorema di composizione delle
funzioni continue. Teorema dell’esistenza degli zeri e teorema di Weierstrass (massimi e
minimi di funzioni continue).
5.Funzioni reali di più variabili: derivazione
Definizione di derivata direzionale e di derivata parziale. Differenziabilità e piano tangente al grafico di una
funzione. Ogni funzione differenziabile è continua, ogni funzione di classe C 1 è differenziabile.
Gradiente di una funzione di più variabili. Direzione di massima (minima) crescita di una funzione di più
variabili.
Derivata di ordine superiore, matrice di Schwartz. Matrice hessiana.
Derivazioni di funzioni composte: caso ?(g(t))). Teorema del valore medio per funzioni di più variabili. Se
?(c)=0 su un insieme aperto connesso per poligonali, allora ? è costante.
Formula di Taylor (fino all’ordine 2) per funzioni di più variabili.
Massimi e minimi (locali) per funzioni di più variabili. Punti critici interni al dominio ù: criterio della matrice
hessiana.
Massimi e minimi vincolati, casi semplici.
6.Curve e integrali curvilinei
Limiti, continuità e derivabilità per funzioni vettoriali di variabile reale.
Interpretazione Geometrica e cinematica del vettore derivata prima.
Curve sostegno e rappresentazione parametrica.
Versore tangente (retta tangente, retta normale); orientazione. Curve chiuse, semplici. Curve regolari.
Rettificazione delle curve. Lunghezza di una curva di classe C1 . Curve equivalenti.
Definizione di integrale curvilineo (rispetto all’ascissa curvilinea) per funzioni continue; proprietà elementari
ed interpretazione geometrica.
7.Funzioni reali di più variabili: massimi e minimi vincolati
Teorema della funzione implicita (Dini) in due variabili. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange per funzioni di
due variabili. Estensione al caso di più vincoli per funzioni di più variabili.
Funzioni vettoriali di più variabili: limiti continuità e derivazione
Limiti, continuità e derivabilità per funzioni vettoriali di più variabili (campi vettoriali). Matrice Jacobiana.
Determinante Jacobiano. Determinante Jacobiano per le seguenti trasformazioni: coordinate polari nel
piano, coordinate cilindriche e coordinate sferiche nello spazio.
Definizione di divergenza (campi vettoriali solenoidali), di rotore (campi vettoriali irrotazionali), del laplaciano.
1.Integrali multipli
Integrali doppi per funzioni continue. Proprietà elementari. Integrazione per sezioni (iterazione).
Formula generale di cambiamento di variabili negli integrali doppi; caso particolare delle coordinate polari.
Integrali tripli per funzioni continue. Integrazione per sezioni bidimensionali (integrazione per strati) ed
unidimensionali (integrazione per fili).
Cenno alla formula generale di cambiamento di variabili; caso particolare delle coordinate cilindriche e
sferiche.
2.Equazioni differenziali
Esempi di Equazioni differenziali. Problema di Cauchy, teorema di esistenza ed unicità.
Equazioni a variabili separabili, di tipo omogeneo, lineari del primo ordine.
Equazioni differenziali lineari di ordine 2 (cenno all’ordine n)
ii)Struttura delle soluzioni nel caso dell’equazione omogenea e nel caso dell’equazione omogenea e nel
caso dell’equazione completa
iii)Equazioni omogenee a coefficienti costanti
iv)Equazioni non omogenee: metodo di variazione delle costanti e caso del termine noto di forma speciale
1.BIBLIOGRAFIA
R.A.ADAMS, Calcolo differenziale 2. Funzioni di più variabili, casa editrice ambrosiana, Milano 1993
N. FUSCO, P. MARCELLINI, C.SBORDONE, Elementi di analisi 2, Liguori, Napoli 2001
ESERCIZIARI:
E.GIUSTI, Esercizi e complementi di Analisi Matematica (vol. II), Bollati Boringhieri, Torino 1992.
S.SALSA A.SQUELLATI, Esercizi di analisi matematica 2, Masson, Milano 1993 (parti 1,2,3)