Programma del corso - Università degli Studi di Parma

Università degli Studi di Parma
Corso di laurea in Ingegneria Civile e Ambientale
Anno Accademico 2016–2017
PROGRAMMA DI ANALISI MATEMATICA 2
1) Preliminari di algebra lineare e topologia
Algebra lineare. Spazi vettoriali. Norma e prodotto scalare. Disuguaglianza di Cauchy–Schwarz. Applicazioni lineari e matrici. Autovalori e diagonalizzazione delle matrici simmetriche. Forme quadratiche.
Topologia. Punti interni, di accumulazione e di frontiera; insiemi aperti ed insiemi chiusi; insemi compatti
ed insiemi connessi.
2) Calcolo differenziale.
Limiti e continuità. Limiti per funzioni di più variabili reali e loro proprietà. Funzioni continue di più
variabili reali e loro proprietà. Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale. Derivate direzionali e parziali. Funzioni differenziabili. Gradiente e suo significato.
Piano tangente, vettori tangenti e normali al grafico di una funzione. Differenziabilità della funzione composta. Funzioni con gradiente nullo. Funzioni di classe C 1 e loro proprietà. Teorema di inversione locale.
Diffeomorfismi e cambi di variabile.
Funzioni di classe C 2 . Funzioni di classe C 2 e matrice Hessiana. Teorema di Schwarz. Formula di Taylor
del secondo ordine con resto di Peano e di Lagrange.
Ottimizzazione di funzioni. Massimi e minimi locali e globali, punti di sella. Condizioni necessarie e/o
sufficienti per l’ottimizzazione di funzioni di classe C 2 . Moltiplicatori di Lagrange.
3)
Curve e campi vettoriali.
Curve orientate. Curve orientate semplici, chiuse, lisce e lisce a tratti. Esempi. Versore tangente. Curve
rettificabili e lunghezza di una curva. Rettificabilità delle curve lisce. Curve equivalenti.
Campi vettoriali. Campi vettoriali. Integrale curvilineo di un campo vettoriale. Campi conservativi e
potenziali. Campi irrotazionali.
4)
Integrali multipli
Integrazione. Insiemi misurabili e misura secondo Peano–Jordan. Integrale e sue proprietà. Funzioni
integrabili. Formule di riduzione e teorema di Fubini. Insiemi semplici.
Cambio di variabili negli integrali multipli. Teorema di cambiamento di variabili negli integrali multipli.
Significato geometrico dello Jacobiano per le trasformazioni lineari. Cambiamento di coordinate polari piane,
sferiche e cilindriche.
5)
Equazioni Differenziali Ordinarie
Equazioni differenziali ordinarie. Definizioni ed esempi. Teoremi di esistenza locale ed unicità. Soluzioni
massimali. Soluzioni globali. Risoluzione di alcuni tipi di equazioni scalari: lineari, a variabili separabili, di
Bernoulli.
Equazioni lineari del secondo ordine. Sistema fondamentale di soluzioni. Formula di variazione delle
costanti arbitrarie di Lagrange.
Testi consigliati. Appunti delle lezioni e materiale tratto dai seguenti testi:
• G. Buttazzo - E. Acerbi, Secondo corso di analisi matematica, Pitagora, Bologna 2016;
• N. Fusco – P. Marcellini – C. Sbordone, Analisi Matematica 2, Liguori, Napoli 2001;