221/94 - UniNa STiDuE

221/97
A.A. 1997/98
UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI TRIESTE
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CORSO DI DIPLOMA
PROGRAMMA DEL CORSO DI
DOCENTE
INGEGNERIA
INFORMATICA
AUTOMATICA E MECCANICA
ANALISI MATEMATICA II - D.U.
Maurizio TROMBETTA
ED
SERIE NUMERICHE
Definizione; carattere di una serie. Serie geometriche, armonica, di Mengoli. Aut - aut per le serie a
termini positivi. Somma di due serie, prodotto per una costante; incastro di due serie. Serie a termini
positivi: Criteri del confronto, del rapporto, della radice; serie armonica generalizzata; criterio
dell’ordine di infinitesimo. Serie a termini di segno qualunque: convergenza semplice ed assoluta;
serie a termini di segno alternato, Criterio di Leibniz (s.d.). Serie numeriche nel campo complesso.
SERIE DI FUNZIONI
Successioni e serie di funzioni. Convergenza puntuale ed uniforme. Serie di potenze: raggio di
convergenza; criteri della radice e del rapporto. Serie di potenze e derivazione. Sviluppo di una
funzione in serie di potenze: definizione; criteri di sviluppabilità in serie di Taylor; sviluppo in serie
di potenze delle funzioni elementari. Serie di potenze nel campo complesso. Le funzioni elementari
nel campo complesso.
LO SPAZIO
Rn. Definizione. La distanza euclidea. Topologia di Rn: intorni di un punto; insiemi aperti e chiusi;
punti di frontiera. Applicazioni di Rn in Rm: definizioni; continuità; limiti; teoremi relativi.
Definizione di continuità uniforme e Teorema di Heine (s.d.). Connessione per archi. Teorema di
connessione. Struttura lineare di Rn: norma e prodotto scalare, loro proprietà. Applicazioni e forme
lineari.
CALCOLO DIFFERENZIALE PER LE FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI
Derivate direzionali e derivate parziali. Derivate di ordine superiore. Funzioni di classe Cn.
Teorema di Schwarz (s.d.). Approssimante lineare e differenziale di un campo scalare. Piano
tangente. Gradiente. Differenziabilità e continuità; differenziabilità ed esistenza delle derivate
direzionali; unicità del differenziale. Teorema del differenziale totale (s.d.). Approssimante lineare e
differenziale di un campo vettoriale; differenziabilità di un campo vettoriale e delle sue componenti.
Matrice Jacobiana. Differenziabilità della funzione composta (s.d.). Formula del valor medio.
Funzioni con gradiente nullo su un aperto. Differenziale secondo di un campo scalare; la matrice
Hessiana. Formula di Taylor - Peano del secondo ordine (s.d.). Forme quadratiche: forme definite e
semidefinite; Teorema di Jacobi (s.d.). Estremi per funzioni scalari: punti di estremo e punti di sella;
test delle derivate prime e delle derivate seconde. Vincoli; estremi vincolati; metodo dei
moltiplicatori di Lagrange (s.d.).
INTEGRALE DI RIEMANN
Decomposizione di un intervallo di R e di un rettangolo di Rn (n+2,37), definizione di integrale
definito. Proprietà dell’integrale definito: linearità (s.d.), monotonia, additività; Teorema della
media. Integrabilità delle funzioni continue e delle funzioni monotone. La funzione integrale:
definizione; continuità (s.d.); Teorema fondamentale del calcolo; Teorema di Torricelli-Barrow.
Formule di riduzione su rettangoli per integrali doppi e tripli (s.d.). Integrali su insiemi limitati: la
misura di Peano-Jordan e sue proprietà. Insiemi normali e insiemi ammissibili. Formule di riduzione
su insiemi normali di R2; formule di riduzione per corde e per sezioni in R3. Formule per il
cambiamento di variabile per integrali multipli (s.d.); casi particolari: coordinate polari e sferiche.
Cenno sugli integrali impropri in R.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Generalità; il problema di Cauchy; teoremi di esistenza e unicità locali e globali (s.d.). Equazioni
del primo ordine a variabili separabili; equazioni omogenee. Equazioni differenziali lineari del
primo ordine. Equazioni di Bernoulli. Equazioni differenziali del secondo ordine; problema di
Cauchy. Equazioni del tipo y”=f(y). Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti
costanti. Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti di ordine n. Equazioni di Eulero.
Cenno ai sistemi di equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti.
CURVE
Definizione di curva; classificazione; curve equivalenti; orientazione di una curva. Curve
rettificabili e lunghezza di una curva; rettificabilità delle curve regolari (s.d.). Integrale curvilineo di
un campo scalare. Integrale curvilineo di un campo vettoriale. Campi vettoriali conservativi;
condizioni relative. Rotore di un campo vettoriale. Teorema di Stokes bidimensionale (s.d.).
Applicazione al calcolo delle aree.
TESTI CONSIGLIATI
P. Omari, M. Trombetta: “Appunti di Analisi Matematica 2 (Per il Diploma Universitario)”,
Stamperia dell’Università degli Studi di Trieste.