UNIVERSITA` DI NAPOLI “FEDERICO II”

UNIVERSITA’ DI NAPOLI “FEDERICO II”
Corso di laurea in Ingegneria Gestionale della Logistica e Produzione (gruppo M – Z)
Programma del corso di Analisi Matematica II
Prof. M.Tricarico (a.a. 2007 - 2008)
SERIE E SUCCESSIONI DI FUNZIONI – Convergenza puntuale, assoluta e totale di una serie di
funzioni. Teoremi di continuità della somma di una serie di funzioni continue; derivazione e
integrazione termine a termine di una seria (s.d.). Serie di potenze: definizione; teorema relativo
all’insieme di convergenza di una serie di potenze; raggio di convergenza e
proprietà, teoremi di D’Alembert e di Cauchy – Hadamard. Proprietà di regolarità della somma di una
serie di potenze: serie derivata e serie integrata termine a termine. Polinomi di Taylor, resto in forma
di Peano e resto in forma di Lagrange. Sviluppabilità in serie di Taylor, sviluppi notevoli.
ELEMENTI DI TOPOLOGIA - Insiemi chiusi, aperti, punti di accumulazione e punti di
frontiera: caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi connessi ed internamente connessi. Funzioni
di più variabili, definizione di limite di funzioni di più variabili. Continuità e proprietà relative;
teorema di Weierstrass (s.d.) e degli zeri nei connessi (s.d.).
CALCOLO DIFFERENZIALE - Derivate direzionali e derivate parziali; differenziabilità:
teorema del differenziale totale; continuità di una funzione differenziabile; piano tangente al grafico di
una funzione differenziabile; derivazione delle funzioni composte (s.d.); derivate parziali
di ordine superiore; invertibilità dell'ordine di derivazione: teorema di Schwarz (s.d.); Teorema di
Lagrange e formula di Taylor; massimi e minimi relativi: definizione. Condizioni necessarie e
condizioni sufficienti. Ricerca dei massimi e minimi assoluti in un compatto.
CURVE - Curve regolari e generalmente regolari: curve aperte, chiuse. Orientamento di un arco di
curva. Retta tangente. Lunghezza di un arco di curva, ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una
funzione; integrali di linea di campi vettoriali.
2
INTEGRAZIONE MULTIPLA - Integrale di Riemann in R : definizione e proprietà; formule di
riduzione (s.d.); cambiamento di variabili (s.d.); cenni sugli integrali tripli.
3
SUPERFICI - Superfici regolari di R ; piano tangente. Superfici con bordo e senza; superfici
orientabili, vettore normale ad una superficie. Area di una superficie e integrale superficiale. Flusso di
un campo vettoriale attraverso una superficie regolare.
FORME DIFFERENZIALI - Forme differenziali lineari e relativo integrale curvilineo. Forme
differenziali esatte: I criterio di integrabilità; forme chiuse; formule di Gauss-Green (s.d.); II criterio di
3
integrabilità nel piano; teorema della divergenza (s.d). Il vettore rotore e la formula di Stokes in R
3
(s.d.). Il teorema della divergenza in R (s.d.).
EQUAZIONI DIFFERENZIALI - Problema di Cauchy per equazioni e sistemi di equazioni
diffrenziali: teorema di unicità e di esistenza in piccolo ed in grande (s.d.); integrali generali,
particolari; equazioni lineari: definizione e proprietà. Proprietà del determinante wronskiano ed
integrale generale di un’equazione lineare omogenea. Il metodo di Lagrange della variazione delle
costanti arbitrarie per equazioni differenziali lineari non omogenee. Equazioni lineari a coefficienti
costanti: polinomio caratteristico. Termini noti di tipo particolare. Metodo di risoluzione delle
equazioni differenziali a variabili separabili.
Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati.
s.d.= senza dimostrazione
BIBLIOGRAFIA
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N.FUSCO-P.MARCELLINI-C.SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica II, Liguori
Editore (Versione semplificata per i nuovi corsi di Laurea).
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P.MARCELLINI-C.SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, vol II, parte I e II, Liguori
Editore
C.MIRANDA, Lezioni di Analisi Matematica II, Liguori Editore.
E.GIUSTI, Analisi Matematica 2, Boringhieri.
C.D. PAGANI - S. SALSA, Analisi Matematica II, Masson.
A. ESPOSITO – R. FIORENZA, Lezioni di Analisi Matematica, parte C e parte D Liguori
Editore