UNIVERSITA’ DI NAPOLI “FEDERICO II” Corso di laurea in Ingegneria Gestionale della Logistica e Produzione (gruppo M – Z) Programma del corso di Analisi Matematica II Prof. M.Tricarico (a.a. 2007 - 2008) SERIE E SUCCESSIONI DI FUNZIONI – Convergenza puntuale, assoluta e totale di una serie di funzioni. Teoremi di continuità della somma di una serie di funzioni continue; derivazione e integrazione termine a termine di una seria (s.d.). Serie di potenze: definizione; teorema relativo all’insieme di convergenza di una serie di potenze; raggio di convergenza e proprietà, teoremi di D’Alembert e di Cauchy – Hadamard. Proprietà di regolarità della somma di una serie di potenze: serie derivata e serie integrata termine a termine. Polinomi di Taylor, resto in forma di Peano e resto in forma di Lagrange. Sviluppabilità in serie di Taylor, sviluppi notevoli. ELEMENTI DI TOPOLOGIA - Insiemi chiusi, aperti, punti di accumulazione e punti di frontiera: caratterizzazione degli insiemi chiusi. Insiemi connessi ed internamente connessi. Funzioni di più variabili, definizione di limite di funzioni di più variabili. Continuità e proprietà relative; teorema di Weierstrass (s.d.) e degli zeri nei connessi (s.d.). CALCOLO DIFFERENZIALE - Derivate direzionali e derivate parziali; differenziabilità: teorema del differenziale totale; continuità di una funzione differenziabile; piano tangente al grafico di una funzione differenziabile; derivazione delle funzioni composte (s.d.); derivate parziali di ordine superiore; invertibilità dell'ordine di derivazione: teorema di Schwarz (s.d.); Teorema di Lagrange e formula di Taylor; massimi e minimi relativi: definizione. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti. Ricerca dei massimi e minimi assoluti in un compatto. CURVE - Curve regolari e generalmente regolari: curve aperte, chiuse. Orientamento di un arco di curva. Retta tangente. Lunghezza di un arco di curva, ascissa curvilinea. Integrale curvilineo di una funzione; integrali di linea di campi vettoriali. 2 INTEGRAZIONE MULTIPLA - Integrale di Riemann in R : definizione e proprietà; formule di riduzione (s.d.); cambiamento di variabili (s.d.); cenni sugli integrali tripli. 3 SUPERFICI - Superfici regolari di R ; piano tangente. Superfici con bordo e senza; superfici orientabili, vettore normale ad una superficie. Area di una superficie e integrale superficiale. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie regolare. FORME DIFFERENZIALI - Forme differenziali lineari e relativo integrale curvilineo. Forme differenziali esatte: I criterio di integrabilità; forme chiuse; formule di Gauss-Green (s.d.); II criterio di 3 integrabilità nel piano; teorema della divergenza (s.d). Il vettore rotore e la formula di Stokes in R 3 (s.d.). Il teorema della divergenza in R (s.d.). EQUAZIONI DIFFERENZIALI - Problema di Cauchy per equazioni e sistemi di equazioni diffrenziali: teorema di unicità e di esistenza in piccolo ed in grande (s.d.); integrali generali, particolari; equazioni lineari: definizione e proprietà. Proprietà del determinante wronskiano ed integrale generale di un’equazione lineare omogenea. Il metodo di Lagrange della variazione delle costanti arbitrarie per equazioni differenziali lineari non omogenee. Equazioni lineari a coefficienti costanti: polinomio caratteristico. Termini noti di tipo particolare. Metodo di risoluzione delle equazioni differenziali a variabili separabili. Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati. s.d.= senza dimostrazione BIBLIOGRAFIA [1] N.FUSCO-P.MARCELLINI-C.SBORDONE, Elementi di Analisi Matematica II, Liguori Editore (Versione semplificata per i nuovi corsi di Laurea). [2] [3] [4] [5] [6] P.MARCELLINI-C.SBORDONE, Esercitazioni di Matematica, vol II, parte I e II, Liguori Editore C.MIRANDA, Lezioni di Analisi Matematica II, Liguori Editore. E.GIUSTI, Analisi Matematica 2, Boringhieri. C.D. PAGANI - S. SALSA, Analisi Matematica II, Masson. A. ESPOSITO – R. FIORENZA, Lezioni di Analisi Matematica, parte C e parte D Liguori Editore