229/98
A.A. 1998/99
UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI TRIESTE
_____________________________________________________________________
CORSO DI DIPLOMA
PROGRAMMA DEL CORSO DI
DOCENTE
INGEGNERIA LOGISTICA E DELLA
PRODUZIONE
ANALISI MATEMATICA II - D.U.
Franco OBERSNEL
NUMERI COMPLESSI. Definizione e proprietà dei numeri complessi. Piano di
Gauss. Coniugato, modulo, argomento di un numero complesso. Rappresentazione
trigonometrica. Formula di De Moivre. Potenze e radici n-esime.
SERIE NUMERICHE. Successioni di numeri reali. Somme parziali e somma di una
serie. Carattere di una serie. Condizione necessaria per la convergenza. Criterio di
Cauchy. Operazioni tra serie. La serie geometrica, la serie armonica, la serie armonica
generalizzata. Serie a termini di segno costante. Aut-aut per le serie a termini di segno
costante. Criterio del confronto, del rapporto e della radice, della condensazione e loro
corollari. Criterio dell’ordine di infinitesimo. Serie a termini di segno misto.
Convergenza assoluta e semplice. Criterio di Leibniz per le serie a termini di segno
alternato.
SERIE DI FUNZIONI E SERIE DI POTENZE. Convergenza puntuale e uniforme
di successioni di funzioni. La continuità passa al limite della convergenza uniforme.
Serie di funzioni. Problema della sviluppabilità. Serie di potenze. Insieme di
convergenza e sue proprietà. Raggio di convergenza e sua determinazione. Teorema di
Cauchy-Hadamard. Serie derivata. Derivazione e integrazione di una somma di serie
di potenze. Lemma di Abel. Teorema di Abel. Sviluppabilità in serie di potenze.
Criteri di sviluppabilità. Serie di Taylor. Esempi notevoli: esponenziale, funzioni
circolari, funzioni iperboliche, serie binomiale, logaritmo, funzioni circolari inverse.
Determinazione numerica di log(x). Cenno sulle serie a valori complessi. Formula di
Eulero.
TOPOLOGIA DI RN. Proprietà metriche e topologiche di Rn. Spazi metrici. Palle
aperte e chiuse in uno spazio metrico. Insiemi aperti e chiusi e loro proprietà. Una
palla aperta è un insieme aperto. Punti interni, esterni, di frontiera, di aderenza e di
accumulazione. Interno, chiusura e frontiera di un insieme. Un insieme è chiuso se e
solo se coincide con la chiusura. Insiemi limitati. Norma euclidea in Rn. Spazi
normati. Prodotto scalare in Rn. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Disuguaglianza
triangolare. Funzioni tra sottoinsiemi di Rn. Campi scalari e vettoriali. Curve in Rn.
Funzioni continue e funzioni limitate. Limiti di campi scalari e vettoriali. Funzioni
componenti di un campo vettoriale. Insiemi compatti e teorema di Weierstrass.
Insiemi connessi (per archi): teorema di connessione. Continuità uniforme e teorema
di Heine. Cenni di algebra lineare. Funzioni lineari e matrici. Forme lineari su Rn e
loro continuità.
CALCOLO DIFFERENZIALE IN RN. Derivate direzionali. Derivate parziali.
Derivate parziali di ordine superiore. Teorema di Schwarz. L'esistenza delle derivate
parziali non garantisce la continuità. Approssimante lineare. Differenziabilità. La
differenziabilità implica la continuità. Differenziabilità e derivate parziali. Gradiente.
Gradiente e derivate direzionali. Piano tangente. Teorema del differenziale totale.
Caso dei campi vettoriali: matrice Jacobiana. Differenziale della funzione composta.
Velocità radiale e velocità angolare. Formula del valor medio. Funzioni con
differenziale nullo. Differenziale secondo. Funzioni due volte differenziali. Matrice
Hessiana. Formula di Taylor del secondo ordine per le funzioni di più variabili. Forme
quadratiche definite positive e negative. Criteri per stabilire il carattere di una forma
quadratica in dimensione 2 e 3. Minimi e massimi liberi. Punti stazionari. Condizione
necessaria per i minimi e massimi. Punti di sella. Condizione sufficiente per i minimi
o i massimi. Minimi e massimi vincolati. Caso del vincolo esplicito. Caso del vincolo
implicito. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
INTEGRALI MULTIPLI. Integrale di Riemann su un rettangolo di R, R2, R3.
Linearità, monotonia. Teorema della media. Formule di riduzione per gli integrali
multipli sui rettangoli. Integrazione per corde e per sezioni. Misura di Peano-Jordan.
Insiemi misurabili. Insiemi trascurabili. Plurirettangoli. Caratterizzazione degli
insiemi trascurabili. Caratterizzazione degli insiemi misurabili tramite i trascurabili.
Grafico di una funzione integrabile. Integrazione delle funzioni continue sui
misurabili chiusi. Domini normali e domini ammissibili. Integrazione delle funzioni
continue sui domini normali. Integrazione per corde e per sezioni sui domini normali.
Cambiamento di variabili negli integrali multipli: coordinate polari, sferiche,
ellittiche, cilindriche. Volume dei solidi di rotazione. Cenno agli integrali impropri.
Definizione delle trasformate di Laplace e di Fourier.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Generalità. Equazioni differenziali ordinarie e alle
derivate parziali. Ordine di un'equazione differenziale ordinaria. Equazioni
differenziali ordinarie lineari. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine in
forma normale. Problema di Cauchy. Teoremi di esistenza locale, globale e di unicità
della soluzione del problema Cauchy. Equazioni a variabili separabili. Equazioni
omogenee. Equazioni differenziali di ordine superiore. Problema di Cauchy per
equazioni di ordine n. Teoremi di esistenza locale, globale e di unicità della soluzione
del problema di Cauchy per equazioni di ordine n. Equazioni differenziali ordinarie
lineari di ordine n. Equazione completa e omogenea associata. Spazio delle soluzioni
dell'equazione omogenea associata e relazione con l'insieme delle soluzioni
dell'equazione differenziale ordinaria del primo ordine. Equazioni di Bernoulli e
modello di propagazione delle epidemie. Equazioni differenziali ordinarie lineari a
coefficienti costanti. Metodo della variazione delle costanti e formula del nucleo
risolvente. Espedienti per la ricerca di soluzioni particolari dell'equazione completa
nel caso di particolari termini noti. Cenno ai sistemi di equazioni differenziali
ordinarie lineari a coefficienti costanti
CURVE IN Rn. Curve continue, regolari, regolari a tratti, semplici, chiuse. Curve in
forma implicita. Curve equivalenti. Retta, vettore e versore tangenti. Determinazione
della retta tangente nel caso di una curva in forma implicita. Curve rettificabili.
Lunghezza di una curva. Formula della lunghezza di una curva di classe C . Integrali
curvilinei di campi scalari e campi vettoriali. Lavoro. Campi conservativi in un aperto
connesso. Potenziali. Teorema di conservazione dell'energia totale. Definizione di
rotore di un campo vettoriale su R3 e R2. Campi conservativi e campi irrotazionali.
Teorema di Stokes bidimensionale e applicazione al calcolo delle aree. Definizione di
divergenza di un campo vettoriale.
TESTI CONSIGLIATI:
P. Omari, M. Trombetta “Appunti del corso di analisi Matematica II (per il diploma
universitario)”, Università degli Studi di Trieste, Facoltà di Ingegneria, Diploma in
Ingegneria informatica e automatica e in Ingegneria Meccanica.
Testo consigliato per la consultazione:
A. Avantaggiati, "Istituzioni di Matematica", casa editrice Ambrosiana, Milano.
PROVE D'ESAME
Sono previste due prove scritte durante lo svolgimento del corso, a verifica di una
comprensione degli argomenti trattati sia dal punto di vista teorico, sia da quello delle
applicazioni. Lo studente che avrà superato con buon punteggio entrambe le prove si
incontrerà con il docente per sentire la proposta di voto, che se accettata avrà valore di
valutazione di esame finale, altrimenti potrà essere corretta mediante una successiva
interrogazione orale. Sono inoltre previste le sessioni di esame come da calendario
che prevedono una prova scritta ed una orale.
Trieste, 24 maggio 1999
