Probabilità - WordPress.com

ELEMENTI DI
CALCOLO DELLE
PROBABILITA’
Evento Aleatorio
Un evento si dice aleatorio se
può o non può verificarsi (Alea
in greco vuol dire dado)
Esempi di eventi aleatori
1. Ottenere un certo numero nel lancio di un dado
2. Estrarre determinati numeri da un’urna (lottosuperenalotto)
3. Essere interrogati a scuola
4. Estrarre determinate carte da un mazzo di carte da gioco
Eventi certi e eventi impossibili
Un evento si dice
certo se si verificherà con certezza
Esempio: l’uscita di un numero minore di 7 nel lancio di un dado
Un evento si dice
impossibile quando non può mai
verificarsi
Esempio: l’uscita del numero 7 nel lancio di un dado
Definizione di probabilità
La probabilità di un evento aleatorio è il quoziente tra il
numero di casi favorevoli f e il numero di casi possibili u
P(E) =
f
u
f 
u 
numero di casi favorevoli
numero di casi possibili
Esempi
Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12 calcoliamo la
probabilità dei seguenti eventi:
E1=<< esce un numero dispari>>
E2=<< esce un numero maggiore di 8>>
E3=<< esce un numero multiplo di 5>>
Evento E1 casi favorevoli = 6 (1,3,5,7,9,11) casi possibili =12
P(E1) = f = 6 = 0,50
u
12
Evento E2 casi favorevoli = 4 (9,10,11,12) casi possibili =12
P(E2) =
f =
u
Evento E3
P(E3) =
4 = 0,33
12
casi favorevoli = 2 (5,10) casi possibili =12
f =
u
2 = 0,17
12
Valori particolari per la probabilità
La probabilità di un evento impossibile è zero
f
P(E) =
u
0
=
=0
u
La probabilità di un evento certo è 1 (f=u)
f
P(E) =
u
u
=
u
=1
In generale per un evento qualsiasi la probabilità risulta
compresa tra zero e uno
0<P(E)<1
Evento contrario
Dato un evento E si chiama evento contrario e si indica con E
l’evento che si verifica quando non si verifica E
Risulta P(E) + P(E) = 1
o anche
P(E) = 1 - P(E)
Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12
consideriamo gli eventi:
E=<< esce un numero maggiore di 8>>
E=<< non esce un numero maggiore di 8>>
Esempio:
f
4
P(E) =
=
= 0,33
u
12
f
8
P(E) =
=
= 0,67
u
12
P(E) + P(E) = 0,33 + 0,67 = 1
EVENTO UNIONE
Dati due eventi E1 ed E2 si chiama evento unione e si indica con
E1 E2 l’evento che si verifica al verificarsi di almeno di uno dei
due eventi.
Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12
consideriamo gli eventi:
E1=<< esce un numero dispari>>
E2=<< esce un numero maggiore di 8>>
E1 E2=<<esce un numero dispari o un numero maggiore di 8>>
Esempio:
Casi favorevoli = 8 (1,3,5,7,9,11,10,12) casi possibili =12
P(E1 E2)=
f
u
=
8
= 0,67
12
EVENTO INTERSEZIONE
Dati due eventi E1 ed E2 si chiama evento intersezione e si indica
con E1 E2 l’evento che si verifica al verificarsi contemporaneamente dei due eventi.
Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12
consideriamo gli eventi
E1=<< esce un numero pari>>
E2=<< esce un numero maggiore di 6>>
E1E2=<<esce un numero pari e un numero maggiore di 6>>
Esempio:
Casi favorevoli = 3 (8,10,12) casi possibili =12
P(E1 E2)=
f
u
=
3
= 0,25
12
EVENTI COMPATIBILI
E INCOMPATIBILI
Due eventi aleatori si dicono compatibili se possono verificarsi
contemporaneamente, incompatibili se il verificarsi dell’uno
esclude il verificarsi dell’altro.
Esempio:
Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12
consideriamo gli eventi:
E1=<< esce un numero pari>> E2=<< esce un multiplo di 3>>
Sono compatibili perché possono verificarsi entrambi (6,12)
E3=<< esce un numero dispari>> E4=<< esce un multiplo di 4>>
Sono incompatibili perché non possono verificarsi contemporaneamente [E3(1,3,5,7,9,11), E4(4,8,12)]
PROBABILITA’ DELL’UNIONE DI
EVENTI INCOMPATIBILI
Se due eventi aleatori E1 e E2 sono incompatibili la probabilità del
loro evento unione è uguale alla somma delle loro probabilità
P(E1 E2)=P(E1)+P(E2)
Esempio:
Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12
consideriamo gli eventi:
E1=<< esce un numero dispari>> E2=<< esce un multiplo di 4>>
E1 E2=<< esce un numero dispari o esce un multiplo di 4>>
P(E1)=6/12=0.5
P(E2)=3/12=0.25
P(E1 E2)=6/12 +3/12= 9/12= 0.75
PROBABILITA’ DELL’UNIONE DI
EVENTI COMPATIBILI
Se due eventi aleatori E1 e E2 sono compatibili la probabilità del
loro evento unione è uguale alla somma delle loro probabilità
diminuita della probabilità del loro evento intersezione
P(E1 E2)=P(E1)+P(E2) - P(E1E2)
Esempio:
Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12
consideriamo gli eventi:
E1=<< esce un numero pari>> E2=<< esce un multiplo di 3>>
E1 E2=<< esce un numero pari o esce un multiplo di 3>
P(E1)=6/12=0.5 P(E2)=4/12=0.33 P(E1 E2)= 2/12=0.17
P(E1 E2)=6/12 +4/12 - 2/12 = 8/12= 0.67
EVENTI DIPENDENTI E
INDIPENDENTI
Due eventi aleatori si dicono indipendenti quando il verificarsi
del primo non influenza il verificarsi del secondo, dipendenti se il
verificarsi del primo influenza la probabilità che si verifichi il
secondo.
EVENTI DIPENDENTI E INDIPENDENTI
Esempio: Estrazione successiva di due carte da un mazzo di 40
carte con reinserimento, cioè rimettendo la carta estratta nel
mazzo prima della seconda estrazione.
E1=<< esce un re>> E2=<< esce un asso>>
Sono indipendenti perché avendo reinserito la carta prima della
2^ estrazione il secondo evento non è condizionato dal primo
Esempio: Estrazione successiva di due carte da un mazzo di 40
carte senza reinserimento, cioè senza rimettere la carta estratta
nel mazzo prima della seconda estrazione.
E1=<< esce un re>> E2=<< esce un asso>>
Sono dipendenti perché non avendo reinserito la carta prima
della 2^ estrazione il secondo evento non è condizionato dal
primo in quanto i casi possibili sono 39 e non 40
EVENTI DIPENDENTI E INDIPENDENTI
Nel caso di eventi dipendenti è necessario considerare la
probabilità condizionata
P(E2/E1)

probabilità dell’evento E2 condizionata a E1
cioè la probabilità che si verifichi E2 dopo che si è verificato E1
Esempio: Estrazione successiva di due carte da un mazzo di 40
carte senza reinserimento, cioè senza rimettere la carta estratta
nel mazzo prima della seconda estrazione.
E1=<< esce un re>> E2=<< esce un asso>>
P(E2/E1)=4/39
PROBABILITA’ DELL’INTERSEZIONE DI EVENTI INDIPENDENTI
Se due eventi aleatori E1 e E2 sono indipendenti la probabilità del
loro evento intersezione è uguale al prodotto delle loro probabilità
P(E1 E2)=P(E1)P(E2)
Esempio: Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12 in due
estrazioni successive con reinserimento calcoliamo la probabilità
che escano nella prima estrazione un numero pari e alla seconda
estrazione un numero maggiore di 10.
Gli eventi sono:
E1=<< esce un numero pari>>
P(E1)=6/12
E2=<< esce un numero maggiore di 10>>
P(E2)=2/12
P(E1 E2)= P(E1)  P(E2) = 6/12  2/12=12/144=1/12
PROBABILITA’ DELL’INTERSEZIONE DI EVENTI DIPENDENTI
Se due eventi aleatori E1 e E2 sono dipendenti la probabilità del
loro evento intersezione è uguale al prodotto della probabilità di
E1 per la probabilità di E2 condizionata a E1
P(E1 E2)=P(E1)P(E2/E1)
Esempio: Un’urna contiene palline numerate da 1 a 12 in due
estrazioni successive senza reinserimento calcoliamo la
probabilità che escano alla prima estrazione un multiplo di 5 e
alla seconda estrazione un numero minore di 5.
Gli eventi sono:
E1=<< esce un multiplo di 5>>
P(E1)=2/12
E2=<< esce un numero minore di 5>>
P(E2/E1)=4/11
P(E1 E2)= P(E1)  P(E2/E1) = 2/12  4/11=8/132=2/33