Fondamenti della geometria

Introduzione alle geometrie non
euclidee
Litografia di Escher
Tavolo iperbolico
La geometria prima di Euclide
• Talete di Mileto (625 a.C. – 547 a.C.) introduce
l’astrazione nello studio della matematica e
dimostra i teoremi con un misto di logica e
intuizione
• Pitagora di Samo (570 a.C. – 495 a.C.) la
scuola pitagorica fa suo il programma di Talete
di fare della geometria una scienza deduttiva.
Con la scoperta degli incommensurabili mostra
che intuizione e logica possono dare risultati
discordi. Dal punto di vista metodologico
l’eredità della scuola pitagorica può essere
sintetizzata con il termine rigore.
Qualche data
• Platone 427 – 347 a. C
• Aristotele 384 – 322 a. C
Nelle sue opere sono presenti i teoremi
1. La somma degli angoli interni di un
triangolo è uguale a due retti
2. Gli angoli alla base di un triangolo
isoscele sono uguali
3. Triangoli inscritti in una
semicirconferenza sono rettangoli
Elementi
• Datati circa 300 a.C.
• Il centro degli studi filosofici si è spostato
da Atene ad Alessandria d’Egitto
• E’ il primo trattato di matematica
• E’ composto da tredici libri
Struttura del primo libro degli
Elementi
•
•
•
•
23 definizioni
5 postulati
5 nozioni comuni
48 teoremi
Definizioni dei termini primitivi
•
•
•
•
Il punto è ciò che non ha parti
Una linea è una lunghezza senza larghezza
Gli estremi di una linea sono punti
Una superficie è ciò che ha soltanto lunghezza e
larghezza
• ................................
Caratteristica generale di una definizione:
descrive, rende esplicito ciò che si intende con
un termine agganciandolo alla realtà
I postulati
Si postula che
I da qualsiasi punto si possa condurre una retta a ogni altro
punto
II ogni retta terminata si possa prolungare per diritto
III con ogni centro e ogni distanza si possa tracciare un
cerchio
IV tutti gli angoli retti siano uguali tra loro
V se una retta, incontrandone altre due, forma angoli interni
da una stessa parte minore di due retti, le due rette,
prolungate all’infinito, si incontrino dalla parte in cui sono
i due angoli minori di due retti

P

Nozioni comuni
• Cose uguali a una stessa cosa sono
uguali tra loro
• Se a cose uguali si aggiungono cose
uguali si ottengono cose uguali
• Se a cose uguali si tolgono cose uguali si
ottengono cose uguali
• Cose che possono essere portate a
sovrapporsi sono uguali tra loro
• Il tutto è maggiore della parte
Il tutto è maggiore della parte
• Quali situazioni
esclude
• A quali situazioni si
riferisce
A
B
C
AB < AC
C
D
P
A
B
A
B
C
Q
O
BOC < AOC
V postulato e rette parallele
• Se una trasversale forma con due rette
angoli alterni interni uguali allora le rette
sono parallele (non dipende dal V postulato)
α=β  r // s L’esistenza di rette parallele è un
teorema
• Se due rette sono parallele, una trasversale
forma con esse due angoli alterni interni
uguali (dipende dal V postulato)
r // s  α=β
s


r
Altri enunciati del V postulato
• Due rette sono parallele se e solo se sono
equidistanti
Si dimostra che equivale al V postulato
assumendo che “il luogo dei punti equidistanti
da una retta è una retta”
• Data una retta r e un punto P esterno ad essa è
unica parallela per P alla retta r (Proclo V d.C.)
Qui si riconosce che l’unicità della parallela è il
contenuto del V postulato
Saccheri (1667 – 1733) e la
dimostrazione del V postulato
Ipotesi
La somma degli
dell’angolo: angoli di un
triangolo è:
Retto
Uguale a due retti
Equivale V
postulato
Ottuso
Maggiore di due
retti
Raggiunge una
contraddizione
Acuto
Minore di due retti
Trova una
contraddizione
per errore
Qual è la situazione all’inizio del
XIX secolo?
Nel tempo si erano susseguiti diversi
tentativi di dimostrare il V postulato, che
avevano portato a riconoscere quali
teoremi erano da esso indipendenti e a
formulare nuovi enunciati del V postulato.
Si inizia a ritenere che il V postulato è
indimostrabile.
Come dimostrare l’indimostrabilità del V
postulato?
I fondatori delle geometrie non
euclidee
• C. F. Gauss (1777 – 1855)
• N. Lobacevskij (1793 – 1856)
• J. Bolyai (1802 – 1860)
• B. Riemann (1826 – 1866)
Gauss
La geometria non euclidea non contiene
nulla di contraddittorio, sebbene molti suoi
risultati debbano sulle prime essere
ritenuti paradossali; tuttavia scambiare ciò
per una contraddizione sarebbe
unicamente un’illusione, provocata dalla
vecchia abitudine a considerare la
geometria euclidea come strettamente
vera. (lettera a Schumacher, 1831)
Esempi di teoremi di geometria non
euclidea a cui si riferisce Gauss
• Tutte le figure simili sono anche congruenti
• Gli angoli di un triangolo equilatero non
hanno misura costante, ma al crescere
della misura dei lati diventano piccoli a
piacere
Lobacevskij
• Opera una rifondazione globale della
geometria oltre a sviluppare una teoria
delle parallele
• Parte da osservazioni di carattere
sperimentale sul comportamento dei corpi
J. Bolyai
• Studia le proprietà dello spazio
indipendenti dal V postulato
• Risolve il problema della quadratura del
cerchio nell’ipotesi della falsità del V
postulato
Classificazione
• Geometria iperbolica: per un punto
esterno a una retta data passa più di una
parallela. Fondatori: Lobacevskij –Bolyai
• Geometria ellittica: non esistono rette
parallele. Fondatore: Riemann
Riemann
La geometria ellittica
Henri Poincaré (1854 – 1912)
Nuova visione della geometria
• Le geometrie non euclidee non hanno il
carattere di evidenza della geometria euclidea.
• Gli enti primitivi non sono definiti con rimando
all’esperienza ma attraverso gli assiomi
• Gli enti primitivi possono essere paragonati alle
carte e gli assiomi alle regole del gioco. La
geometria è il “gioco” che si ottiene una volta
date le regole
• Come assicurare che nel gioco non si avranno
incoerenze?
Poincaré immagina un mondo
racchiuso in una sfera, in cui:
• La temperatura è massima al centro e
diminuisce andando verso la superficie
• La temperatura assoluta è proporzionale a
R2-x2, dove x è la distanza dal centro della
sfera
• Tutti i corpi hanno lo stesso coefficiente di
dilatazione
In questo mondo il percorso dei raggi di luce
è circolare
Modello di Poincaré
• Punto
• Linea
• Linea retta
• Piano
• Punto interno a un
cerchio euclideo C
• parte interna a C di
una linea euclidea
• Parte interna a C di
un suo diametro o di
un cerchio ortogonale
aC
• interno del cerchio C
Coerenza della geometria
iperbolica
• Nel modello i primi quattro postulati e la
negazione del V postulato hanno
un’interpretazione euclidea
• Ogni contraddizione deducibile da questi
assiomi potrebbe essere tradotta in una
contraddizione dei teoremi euclidei
corrispondenti
• Se la geometria euclidea è coerente allora
lo è anche quella iperbolica.
V postulato è indimostrabile!
• Se il V postulato fosse dimostrabile dai
primi quattro, allora sarebbe anche un
teorema della geometria iperbolica
• In tal caso la geometria iperbolica sarebbe
non coerente perché conterrebbe il V
postulato e la sua negazione.
David Hilbert
• Fondamenti della geometria (1899)
• Per dimostrare che il suo sistema di
assiomi è non contraddittorio ne dà
un’interpretazione nell’insieme dei numeri
reali
• Se la teoria dei numeri reali è non
contraddittoria allora lo è anche la
geometria euclidea rifondata da Hilbert
Modello della geometria euclidea
•
•
•
•
Punto
Circonferenza
Retta
piano
•
•
•
•
Coppia (x; y)
(x-h)2 +(y-k)2=r2
ax+by+c = 0
Insieme delle coppie
(x; y)
Gödel (1906 – 1978)
E’ impossibile stabilire la coerenza logica di
un sistema complesso, a meno di usare
dei principi di ragionamento la cui
coerenza interna è problematica quanto
quella del sistema stesso.
Bibliografia
• Trudeau, La rivoluzione non euclidea
• Agazzi – Palladino, Le geometrie non
euclidee
• H. Poincaré, La scienza e l’ipotesi
• M. Kline, Storia del pensiero matematico
• G. Margiotta, Cabri come strumento di
esplorazione delle geometrie non euclidee
(quaderno Cabri n. 10)