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Circonferenza e cerchio
Definizione di circonferenza

Si definisce
circonferenza il
luogo geometrico
dei punti del piano
equidistanti da un
punto detto centro
della circonferenza
Definizione di cerchio
 Si
definisce
cerchio la
porzione di
piano racchiusa
da una
circonferenza
Raggio

Si definisce
raggio di una
circonferenza il
segmento che
unisce il centro
con un qualsiasi
punto della
circonferenza
Corda e diametro



Si definisce corda
qualsiasi segmento che
unisce due punti della
circonferenza
Si definisce diametro
una corda che passa per
il centro della
circonferenza
È facile vedere che :
d
= 2r
Arco di circonferenza



Prendiamo una
circonferenza e mettiamo
su di essa due punti
Si definisce arco di
circonferenza ciascuna
delle in cui la
circonferenza risulta
suddivisa dai due
punti
I punti B e C individuano
l’arco c e l’arco d
Settore circolare
Prendiamo un cerchio e un suo
arco BC
Tracciamo i due raggi che
uniscono gli estremi dell’arco con
il centro
Otteniamo cosi una porzione di
cerchio




Si dice settore
circolare la porzione
di cerchio racchiusa
da due raggi e un arco
di circonferenza.
Cosa succede se aumento a?
Segmento circolare



Consideriamo un cerchio ed una
sua corda a
La corda divide il cerchio in due
parti
Si definisce segmento circolare
ciascuna delle due parti

Si definisce
segmento circolare
una porzione di
cerchio delimitata da
una corda
Corona circolare



Consideriamo due
circonferenze concentriche di
raggio r1 ed r2 con r1 > r2
fra le due circonferenze si
trova una porzione di piano
Chiamiamo questa porzione
di piano corona circolare
Si definisce corona circolare la
porzione di piano racchiusa fra due
circonferenze concentriche


POSIZIONE di una retta e una
circonferenza (geogebra)
Posizione reciproca fra due circonferenze
(geogebra)



Per 1 punto passano infinite circonferenze
Per 2 punti passano infinite circonferenze
Per 3 punti passa una sola circonferenza il
centro è il circocentro del triangolo che ha
per vertici i tre punti (geogebra)
Arco e angolo al centro






Se degli estremi di un arco di
circonferenza traccio i due raggi si
forma un angolo al centro a
Tale angolo prende il nome di
angolo al centro
Si dice che l’arco AB sottende un
angolo a e l’angolo a è sotteso da
un arco AB
Cosa succede se in una
circonferenza aumento l’ampiezza
dell’arco?
Cosa succede all’angolo a?
Vediamo che esso aumenta e
questo aumento è proporzionale
all’ampiezza dell’arco


Angoli al centro e alla circonferenza
Proprietà degli angoli al centro e alla
circonferenza
Rapporto fra circonferenza e
diametro




Il rapporto fra circonferenza e diametro è uno dei numeri
che più ricorrono e non solo in matematica
Si tratta di un numero che non può essere espresso
come rapporto di numeri interi perciò appartiene alla
categoria dei numeri irrazionali
Abbiamo già trovato un numero di questo tipo quando
abbiamo studiato i quadrati ricordate ….. d/l = √2
Nel nostro caso abbiamo che:
C
d
p
p
3,14…
Formule
C=pxd
Circonferenza
uguale a p greco
per il diametro
d
C
p
Ma d = 2 x r
allora
Formu
le
invers
e
C = p x 2r
Circonferenza uguale
a p greco per due
volte il raggio
r
C
2p
problemi












Trovare la lunghezza di una circonferenza sapendo che il suo
diametro misura 12 cm
c=pxd
c = 3,14 x 12 cm = 37,68 cm
Una circonferenza misura 75,36 cm ; trovare il raggio
r = c/2p
r = 75,36 cm / (2 x 3,14) = 75,36 / 6,28 = 12 cm
Trovare la lunghezza di una circonferenza il cui raggio misura 15 cm
c= 2xpxr
c = 2 x 3,14 x 15 cm = 2,28 x 15 cm = 94,2 cm
Una circonferenza misura 72,22 cm trovare il diametro
d = c/ p
d = 72,22 cm / 3,14 = 23 cm
Arco e angolo al centro






Se degli estremi di un arco di
circonferenza traccio i due raggi si
forma un angolo al centro a
Tale angolo prende il nome di
angolo al centro
Si dice che l’arco AB sottende un
angolo a e l’angolo a è sotteso da
un arco AB
Cosa succede se in una
circonferenza aumento l’ampiezza
dell’arco?
Cosa succede all’angolo a?
Vediamo che esso aumenta e
questo aumento è proporzionale
all’ampiezza dell’arco
Calcolo della lunghezza dell’arco




Se il valore il valore
dell’angolo al centro arriva
a 360° il corrispondente
valore dell’arco sarà l’intera
circonferenza
Questo valore sarà uguale
a rapporto di un arco e del
corrispondente angolo al
centro
Da cui ottengo il modo di
calcolarmi l
Sapendo che c = p x 2r
C
l
=
a
360
°
Cxa
l =
360
°
p x 2r x a
l=
360
°
Formule Inverse
l
x
360°
c =
a
l x 360°
a=
c
l x 360°
d=
pxa
l x 360°
a=
pxd
l x 360
r =
2 p x°
a
l x 360
a=
r
2 p x°
Area del cerchio









Consideriamo i seguenti poligoni regolari
Un poligono a 6 lati
Un poligono a 10 lati
Un poligono a 24 lati
La formula per calcolare l’area di questi
poligoni è sempre la stessa:
A = (2P x a) : 2 dove a è l’apotema (celeste)
2P = n x l (n = numero dei lati l lato)
Ogni poligono è inscritto in un circonferenza
ed in rosso è mostrato il raggio
Asserviamo cosa succede al poligono
all’aumentare del numero dei lati fissando
prima la nostra attenzione sulla differenza fra
poligono e circonferenza circoscritta
Puoi osservare che all’aumentare del
numero dei lati il poligono tende
sempre di più ad assomigliare ad una
circonferenza tanto che già a 24 lati si
fa fatica a distinguerli
Adesso fissiamo la
nostra attenzione sul
raggio e sull’apotema
Se noi facciamo diventare infinito
il numero dei lati il poligono
coinciderà con la circonferenza e
l’apotema con il raggio
Si nota che nella prima
figura la differenza e
percettibile ma
nell’ultima essa diventa
trascurabile
Conclusioni
Nella formula
diventa
diventa
segue
Formula della lunghezza
di una circonferenza
A = (2pr x r) : 2
infi
ne
Formula inversa
problemi








Un cerchio ha il raggio di 10 cm trovare circonferenza e area del
cerchio
c = 2 x 3,14 x 10 cm = 62,4 cm
c = 2 p r A = p r2
A = 3,14 x (10 cm )2= 314 cm2
Un cerchio ha l’area di 1256 cm2 trovare raggio, diametro e
circonferenza del cerchio
r = √ (A/p)
r = √ (1256 cm2 /3,14) = √ 400 cm = 20 cm
d = 2 x r = 2 x 20 cm = 40 cm
c = p d = 3,14 x 40 cm = 125,6 cm
La somma delle circonferenze di due cerchi è di 60 p cm, una è i 7/5
dell’altra. Trovare le aree dei due cerchi
c1 +c2 = 60 p cm
5 c1 + 7 c1
c2 = 7/5 c1
= 60 p cm
12
c1 + 7/5 c1 = 60 cm
c1
5
5
C2 = 35 p cm d1 = 25p cm/p r1 = 12,5 cm
60 p cm
c1
60 p cm x
5
12
c1 = 25p cm
A1 = (12,5 cm)2 p = 152,5 p cm2
Settore circolare
Prendiamo un cerchio e un suo
arco BC
Tracciamo i due raggi che
uniscono gli estremi dell’arco con
il centro
Otteniamo cosi una porzione di
cerchio




Si dice settore
circolare la porzione
di cerchio racchiusa
da due raggi e un arco
di circonferenza.
Cosa succede se aumento a?
Calcolo dell’area settore circolare





L’area del settore circolare è
proporzionale al valore
dell’angolo al centro
Se il valore il valore dell’angolo
al centro arriva a 360° il
corrispondente settore circolare
coinciderà con l’area del cerchio
Questo rapporto e quello
precedente saranno uguali
Da questa constatazione posso
impostare la proporzione per
calcolarmi l’area de settore
circolare
La cui soluzione mi darà l’area
del settore circolare
As
Ac
=
a
360°
A
x
a
c
As =
360°
As =
p r2 x a
360°
Segmento circolare



Consideriamo un cerchio ed una
sua corda a
La corda divide il cerchio in due
parti
Si definisce segmento circolare
ciascuna delle due parti

Si definisce
segmento circolare
una porzione di
cerchio delimitata da
una corda
Caso 1 il segmento non contiene il centro


In questo caso debbo
considerare il settore
circolare il cui arco
sottende al corda AB e il
triangolo ABO
L’area del segmento
circolare sarà data dalla
differenza fra l’area del
settore circolare a l’area
del triangolo
Asc = As - At
Caso 2 il segmento contiene il centro


In questo caso debbo
considerare il settore Asc = As + At
circolare il cui arco
Se non
sottende al corda AB
diversamente
e il triangolo ABO
specificato il
L’area del segmento
segmento circolare
circolare sarà data
dalla somma fra l’area si riferisce
del settore circolare a all’angolo
l’area del triangolo
convesso
Formule Inverse
A
x
360°
s
Ac=
a
Asx 360
a=
A°
c
As x 360
r=
p x°
a
As x 360
a=
r2
p x°
Area della corona circolare

L’area della corona circolare si
ottiene sottraendo all’area del
cerchio maggiore quella del
cerchio minore
Acc =
2
pr2 –
Acc =
2
p(r2
2
pr1
–
2
r1 )