trigonometria 2

TRIGONOMETRIA
1
Ripasso veloce
DEFINIZIONI PRINCIPALI




Sia u un segmento con un estremo
nell’origine e l’altro sulla circonferenza di
centro l’origine e raggio 1 (circonferenza
goniometrica) che formi un angolo θ con
l'asse x.
Si chiama coseno dell'angolo θ, e si
indica con cosθ, la lunghezza ux.
Si chiama seno dell'angolo θ, e si indica
con senθ, la lunghezza uy.
Si chiama tangente dell'angolo θ, e si
indica con tgθ, il rapporto
senθ
cosθ
y
uy
0
θ
u
ux
1 x
2
ALTRE FUNZIONI TRIGONOMETRICHE
A
Risulta:
senθ 
cateto opposto a θ
ipotenusa
C

cateto adiacente a θ
cosθ 
ipotenusa
Si possono definire anche altre funzioni trigonometriche, di
minore uso, che sono le reciproche di senθ, cosθ e tgθ :
Cosecante di θ:
cscθ 
1
ipotenusa

senθ cateto opposto a θ
Secante di θ:
secθ 
1
ipotenusa

cosθ cateto adiacente a θ
Cotangente di θ: cotgθ 
1
cosθ cateto adiacente a θ


tgθ senθ cateto opposto a θ
B
3
PROPRIETÀ

tgθ

Il segmento u ha lunghezza 1, qualsiasi sia la posizione del suo
punto finale U sulla circonferenza goniometrica, quindi:
 cos2θ + sen2θ 1
y
 -1cosθ 1
U
 -1senθ 1
senθ
u
Poiché tgθ 
risulta
cosθ
θ
 - tgθ +
0 cosθ 1 x
Graficamente
 cosθ e senθ sono l’ascissa e l’ordinata di U
 tgθ è la lunghezza del segmento di tangente alla
circonferenza goniometrica tra l’asse x e la semiretta di u.
senθ

4
VALORI NEGLI ANGOLI ELEMENTARI

Consideriamo i due triangoli rettangoli delle figure seguenti:
A
M
45°
1
60°
1
B
45°
C
N
30°
P
Il primo è mezzo quadrato, il secondo mezzo triangolo
equilatero.
Poiché l’ipotenusa, in entrambi i casi, vale 1, si ricava:
•
cos(45°)=sen(45°)=
2
2
•
cos (60°)=sen(30°)=
1
2
cos (30°)=sen(60°)=
3
;
2
5
ALTRI ANGOLI ELEMENTARI


Gli angoli di 60°, 45° e 30° corrispondono ai
triangoli OAB, OA’B’, OA”B” della figura a fianco
e abbiamo visto i valori delle funzioni
trigonometriche per tali valori.
Per calcolare gli altri angoli elementari
osserviamo la seconda figura, che presenta i 4
quadranti.
I 4 punti Pk hanno ascisse e ordinate
uguali in valore assoluto, dunque i
triangoli rettangoli 1, 2, 3, 4 sono
congruenti, quindi per calcolare i valori
delle funzioni negli altri angoli elementari
ci riferiamo al primo quadrante e
cambiamo opportunamente i segni.
6
CURIOSITÀ

Il seno e il coseno degli angoli
notevoli si possono ricordare
facilmente con la regola
mnemonica:
senθ
θ
cosθ
0
2
0o
4
2
1
2
30o
3
2
2
2
45o
2
2
3
2
60o
1
2
4
2
90o
0
2
7
PERIODICITÀ


Sia θ un angolo acuto in un triangolo rettangolo.
Per quanto detto valgono le relazioni:
 senθ=cos(90°-θ)
 cosθ=sen(90°-θ)
 senθ=-sen(-θ)
 cosθ=cos(-θ)
 senθ=sen(180°-θ)
 cosθ=-cos(180°-θ)
 sen(90°+θ)=sen(180°-(90°+θ))=sen(90°-θ)=cosθ
 cos(90°+θ)=-cos(180°-(90°+θ))=-cos(90°-θ)=-senθ
θ
8
GRADI E RADIANTI



Quando il punto finale U del segmento u si muove sulla
circonferenza goniometrica in verso antiorario, aumenta l’angolo a
(tra 0 e 360°) e aumenta di conseguenza anche la lunghezza
dell’arco di circonferenza tra l’asse x e la retta di u, da 0 a
2p=lunghezza circonferenza.
La misura dell’arco corrisponde a quella dell’angolo: gli angoli sono
quindi misurabili anche in radianti (rapporto tra la lunghezza
dell’arco e quella del raggio della circonferenza).
La corrispondenza tra angoli e radianti e il valore delle funzioni
trigonometriche negli angoli elementari è data dalla tabella della
pagina seguente.
9
ANGOLI PRINCIPALI
q


q
L’angolo q della prima figura è di 30°, infatti il triangolo giallo è
equilatero; tutti gli altri angoli sono uguali al primo; dalla figura è
evidente che misura p/6
L’angolo q della seconda figura è di 45°, e tutti gli altri angoli sono
uguali al primo, che misura, in radianti, p/4.
10
CONVERSIONE GRADI-RADIANTI
gradi
Rad.
gradi
Rad.
0°
0
180°
p
30°
p/6
210°
p/6
45°
p/4
225°
5p/4
60°
p/3
240°
4p/3
90°
p/2
270°
3p/4
120°
2p/3
300°
5p/3
135°
3p/4
315°
7p/4
150°
5p/6
330°
11p/6
11
T
ABELLA
DEI
sena
gradi
Rad.
VALORI
cosa
tga
gradi
Rad.
sena
cosa
tga
180°
p
0
-1
0
210°
7p/6

225°
5p/4
240°
N.D.
1
2
0°
0
0
1
30°
p/6
1
2
3
2
45°
p/4
2
2
2
2
60°
p/3
3
2
1
2
90°
p/2
1
0
120°
2p/3
3
2

135°
3p/4
2
2

150°
5p/6
1
2

0
1
2

3
2
3
3

2
2

2
2
1
4p/3

3
2
270°
3p/4
-1
 3
300°
5p/3

2
2
-1
315°
7p/4

3
2

330°
11p/6
3
3
1
3
3
3


1
2
3
0
N.D.
3
2
1
2
 3
2
2
2
2
1
2
3
2
-1
3
12 3

SUI TRIANGOLI RETTANGOLI








Consideriamo un triangolo rettangolo e sia
a l’ipotenusa, b e c i cateti. Risulta:
senθ= b/a , cosθ=c/a  tgθ=b/c
C
a
b
Per cui
θ
B
b=a senθ, c=a cosθ, c=b tgθ.
c
“Risolvere” un triangolo rettangolo significa, dati alcuni
elementi, ricavare gli altri elementi non conosciuti.
Poiché si parla di triangoli rettangoli, l’angolo retto è dato,
poi, per conoscere tutto basta avere in più:
 Ipotenusa e un angolo
• un cateto e un angolo
 L’ipotenusa e un cateto
• i due cateti
I due angoli invece non caratterizzano il triangolo, ma solo
tutti i triangoli simili.
A
13
TEOREMI SUI TRIANGOLI


Dato un triangolo qualsiasi, di lati a, b, c, e angoli opposti a, b, g
rispettivamente, valgono i seguenti teoremi:
Teorema dei seni:
a
b
c


senα senb seng


Teorema del coseno (o di Carnot):
 a2=b2+c2-2bc cosa
 b2=a2+c2-2ac cosb
 c2=b2+a2-2ba cosg
È chiaramente una generalizzazione del teorema di Pitagora.
14
ALTRE PROPRIETÀ




Abbiamo visto che:
a
b
c


senα senb seng
Questa relazione ha un significato geometrico: i tre rapporti
rappresentano la lunghezza del diametro del cerchio circoscritto
al triangolo.
Teorema della corda: ogni corda di una circonferenza ha una
lunghezza pari al prodotto della misura del diametro per il seno
di qualunque angolo alla circonferenza che insista su tale corda.
Teorema dell’area: L’area di un triangolo qualsiasi di lati a, b,
c vale
½ bc sena = ½ ac senb = ½ ab seng
15
IDENTITÀ TRIGONOMETRICHE


Per ogni angolo θ vale la identità fondamentale:
 sen2θ + cos2θ = 1
e da questa si ricava che:
cosθ   1  sen2θ e


senθ   1  cos2θ
Nelle slide seguenti presenteremo svariate formule che legano
tra loro le funzioni trigonometriche.
La loro dimostrazione è abbastanza semplice ed è riportata su
ogni libro di matematica delle superiori che preveda la
trigonometria.
16
FORMULE 1


Dati due angoli qualsiasi θ e φ valgono le seguenti relazioni:
Formule di addizione e sottrazione:
 sen(θ±φ)=senθcosφ±cosθsenφ
 cos(θ±φ)=cosθcosφ±senθsenφ
tgθ + tgφ
tgθ  tgφ
tg(θ  φ) 
1  tgθ  tgφ
1 + tgθ  tgφ
Formule di duplicazione:
 sen2θ=2senθcosθ
 cos2θ=cos2θ-sen2θ = 1-2sen2θ= 2cos2θ-1
2tgθ

tg(2θ) 
1  tg2θ


tg(θ + φ) 
17
FORMULE 2


Altre formule interessanti:
Formule di bisezione:
θ
1  cosθ
sen  
2
2
cos
θ
1 + cosθ

2
2
θ
1  cosθ
tg  
2
1 + cosθ
Formule parametriche:
chiamata t la tangente di θ/2, è
sen(t) 
2t
1 + t2
cos(t) 
1 - t2
1 + t2
tg(t) 
2t
1  t2
18
FORMULE 3


Queste formule legano somme di funzioni trigonometriche con
prodotti delle medesime e viceversa:
Formule di prostaferesi:
θ+φ
θφ
senθ + senφ  2sen

cos



2
2




θ+φ
θφ
cosθ + cosφ  2cos
  cos

 2 
 2 
Formule di Werner (o del prodotto):
1
cosθ + φ + cosθ  φ
2
1
senθ  senφ  cosθ  φ   cosθ + φ 
2
1
senθ  cosφ  senθ + φ  + senθ  φ 
2
cosθ  cosφ 
19