GEOMETRIA
IPERBOLICA
COS’ È LA GEOMETRIA
IPERBOLICA?
Il 5° postulato (delle rette parallele) appariva
diverso dagli altri, e da molti non veniva
riconosciuto perché era dimostrabile solo in un
piano illimitato, quindi non in tutte le
condizioni. Lo stesso Euclide lo utilizza per
dimostrare uno solo dei suoi teoremi, come se
anche lui non fosse totalmente sicuro della sua
veridicità. La geometria iperbolica è
una geometria non euclidea ottenuta
rimpiazzando il postulato delle parallele, non
ritenuto accettabile, con il cosiddetto postulato
iperbolico
BREVI CENNI STORICI
Dopo che si era sempre cercato di dimostrare la
validità del 5° postulato di Euclide, all'inizio
del XIX secolo, Gauss cominciò a pensare di
costruire una geometria che
non ritenesse valido il quinto
postulato di Euclide, ma non
pubblicò mai i risultati dei
suoi studi raggiunti per
evitare di andare contro chi
non la pensasse come lui (i
seguaci di Kant). Su questa
idea lavorarono anche,
Carl Friedrich Gauss indipendentemente l'uno
dall'altro, l'ungherese Bolyai,
che nel 1829 ne scoprì l’
esistenza e nel 1832 ne
pubblico i risultati, e il
matematico russo
Lobacewskji che costruirono
una geometria basata sulla
considerazione
che, data una
retta r ed un
punto P fuori
di essa, esistesse
János Bolyai
più di una parallela a r; a questa
geometria fu dato il nome di
geometria iperbolica.
Nikolaj Ivanovič
Lobačevskij
LE PARALLELE NELLA
Nella
geometria euclideaIPERBOLICA
Nella geometria
GEOMETRIA
si afferma che:
Data una retta r ed un
punto P, esiste un'unica
retta parallela
a r passante per P.
iperbolica invece:
Data una retta r e un
punto P disgiunto da r,
esistono almeno due rette
distinte passanti per P e
parallele a r.
Quindi i 5 assiomi della
geometria iperbolica sono:
1. Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare
una ed una sola retta.
2. Si può prolungare una retta oltre i due punti
indefinitamente.
3. Dato un punto e una lunghezza, è possibile
descrivere un cerchio.
4. Tutti gli angoli retti sono congruenti.
5. Data una retta r e un punto P disgiunto da r,
esistono almeno due rette distinte passanti
per P e parallele a r.
La geometria iperbolica si dimostra
attraverso alcuni modelli
Un modello è uno spazio, comprendente le
nozioni di punto, retta e angolo, su cui valgono i 5
assiomi della geometria iperbolica.
I modelli iperbolici sono:
Modello del Disco
Modello di Klein
Modello dell’ Iperboloide
Modello di Beltrami
Modello del Semipiano
PROPIETA’
• Parallelismo
Sia B il punto di l più
vicino a P, il segmento
PB è perpendicolare a
l. Ogni retta passante
per P è identificata
dall’ angolo θ che
forma con PB. Se due
rette x e y sono
parallele a l, queste
formano angoli diversi
θ1 e θ2: ogni altra retta
compresa fra θ1 e θ2 è
parallela a l.
Le rette iperboliche possono essere:
Asintoticamente parallele se si incontrano solo
all’infinito.
• Ultraparallele se sono parallele e divergo all’
infinito.
• I Poligoni
Come nella geometria
euclidea, un segmento è
una porzione di retta
delimitata da due punti
(i suoi estremi), ed
un poligono è una figura
delimitata da una
successione di segmenti,
tale che due segmenti successivi si intersecano
agli estremi. Le relazioni fra lunghezze dei lati e
angoli interni in geometria iperbolica sono
però ben diverse da quelle presenti nella
geometria euclidea. Ad esempio, la somma degli
angoli interni di un triangolo iperbolico è
strettamente minore di 180°.
•Il Quadrato
Un quadrato è un
poligono con 4 lati di
eguale lunghezza e 4
angoli uguali α. Nella
geometria
euclidea α deve essere
un angolo retto. In quella
iperbolica, può essere un
qualsiasi angolo acuto.
Perciò facendo un piccolo
confronto
geometria eclidea
geometria iperbolica
Per un punto passa una ed una sola retta parallela ad
una retta data
Per un punto passano due rette parallele ad una retta
data e infinite rette ultraparallele
La somma degli angoli di un triangolo è 180 gradi
La somma degli angoli di un triangolo è minore di 180
gradi
Due rette parallele sono sempre equidistanti
Due rette parallele non sono equidistanti; esse si
avvicinano l’una all’altra in una direzione e
divergono nell’altra.
Due rette perpendicolari ad una stessa retta sono
parallele
Due retta perpendicolari ad una stessa retta sono
ultraparallele
Esistono rettangoli
Non esistono rettangoli
Due rette parallele hanno infinite perpendicolari
comuni
Due rette parallele o incidenti non hanno alcuna
perpendicolare in comune; due rette ultraparallele
hanno una unica perpendicolare comune.
Vale il teorema di Pitagora: la somma delle aree dei
quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo
è uguale all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa
Il teorema di Pitagora non vale ma si avvicina al vero
col tendere a zero dell’area del triangolo
Gli angoli interni di un quadrato sono di 90 gradi
Gli angoli interni di un quadrato possono essere un
qualsiasi angolo acuto
Fine
