Le frazioni

Prof.ssa A.Comis
1
•
•
•
•
•
•
•
Un po’ di storia
Definizione
Tipi di frazione
Confronto
Operazioni
Frazioni decimali
Numeri razionali assoluti
2
• Se dividiamo un segmento in 3 parti uguali, come
possiamo rappresentare ognuna di queste parti se
il segmento iniziale è rappresentato dal numero 1?
• Come facciamo a sapere il costo di una maglietta
se il negoziante pratica lo sconto del 30%?
• Se tagli una torta in 8 fette uguali e ne mangi 3
fette, come indichi la quantità che hai mangiato
rispetto a tutta la torta?
Domande di questo tipo inducono ad ampliare
l’insieme dei numeri naturali studiati fino ad ora.
Fu proprio l’impossibilità di eseguire in ogni caso
la divisione fra due numeri naturali che, fin dai
tempi più remoti, portò l’uomo a capire che non
poteva risolvere certi problemi pratici con il solo
utilizzo dei numeri naturali.
3
Si presentò quindi la necessità di introdurre un
nuovo insieme numerico che potesse
permettere di risolvere certi problemi e nacque,
così, l’insieme dei numeri razionali assoluti.
Gli elementi di base di questo nuovo insieme
numerico, che indicheremo con la lettera Q,
sono le frazioni.
Il termine Frazione deriva dal latino “frangere”
che significa rompere, spezzare.
4
• Dicesi Frazione ogni coppia ordinata di
numeri naturali, il secondo dei quali sia
diverso da zero.
Possiamo anche dare un’altra definizione:
• Dicesi Frazione il rapporto fra due numeri
naturali con il secondo diverso da zero.
5
a
Il simbolo per indicare una frazione è
b
dove a si chiama numeratore e b si chiama denominato re
a
Dire
equivale a dire a : b e questo, ricordando le
b
proprietà studiate per la divisione in N, spiega perchè
abbiamo detto che il secondo numero deve essere diverso da 0.
1
Scrivendo, per esempio,
vorrem mo dire che abbiamo
0
diviso in zero parti e questo non avrebbe alcun significat o.
6
Tipi di frazione
Data
a
b
• Se a < b la frazione si dice PROPRIA
• Se a > b la frazione si dice IMPROPRIA
• Se a è multiplo di b la frazione si dice
APPARENTE
• Se a e b sono primi fra loro la frazione di dice
IRRIDUCIBILE
• Se a e b non sono primi fra loro, cioè se hanno
fattori comuni la frazione si dice RIDUCIBILE
7
Esempi
3
4
4
3
6
3
6
2
3
1
5
sono frazioni proprie
5
7
7
11
sono frazioni improprie
4
8
8
12
sono frazioni apparenti, infatti :
2
4
8
12
4
3
2
4
8
Due frazioni sono EQUIVALENT I se hanno lo stesso valore
a c

 ad  cb
b d
Per stabilire quale delle due è maggiore dell' altra
a c

 ad  cb
b d
a c

 ad  cb
b d
9
Proprietà invariantiva
• Moltiplicando o dividendo sia il numeratore
che il denominatore per uno stesso numero
diverso da zero si ottiene una frazione
equivalente a quella data.
L’applicazione di questa importante proprietà ci
permette di semplificare o ridurre una frazione.
Infatti per rendere irriducibile una frazione basta
dividere entrambi i suoi termini per i fattori
comuni in modo che risultino primi fra loro.
10
Esempi
3
15

4
20
4
5

3
4
7
9

11 5
16
si
20
15
si
9
 3 x 20  15 x 4  60  60
 4x4  5x3  16  15
 7x5  9x11  35  99
4
riduce in
5
5
riduce in
3
11
Per ridurre più frazioni allo stesso denominatore
basta seguire le seguenti regole:
• Il denominatore comune a tutte sarà il m.c.m. dei
denominatori;
• Si divide il denominatore comune così ottenuto
per ogni denominatore e si moltiplica il quoziente
trovato per il corrispondente numeratore;
Esempio
4
3
40
30
5
2
75
30
3
5
18
30
diventano
12
a
c
ad  cb


b
d
bd
a
c
axc
x

b
d
bxd
Esempi
3
4
15  8



2
5
10
4
3
12
2
x


9
2
18
3
3 9
3 10
:

x

5 10
5
9
a c
a
d
:

x
b d
b
c
23
10
30
2

45
3
13
• Una frazione che ha per denominatore una potenza
di 10 si dice Decimale.
• Ogni frazione decimale si può trasformare in un
numero decimale che dopo la virgola ha tante cifre
quanti sono gli zeri del denominatore della
frazione.
• Viceversa, ogni numero decimale finito può essere
trasformato in una frazione decimale che ha per
numeratore tutte le cifre che compongono il
numero e per denominatore una potenza di 10 che
ha tanti zeri quante sono le cifre decimali del
14
numero dato.
Esempi
3
 0,3
10
52
 0,52
100
315
 31,5
10
362
3,62 
100
426
42,6 
10
7
 0,007
1000
61
 6,1
10
214
 2,14
100
54
0,0054 
10000
8
0,8 
10
15
Numeri razionali assoluti
Abbiamo visto che per la proprietà invariantiva, se
moltiplichiamo entrambi i termini di una frazione
per uno stesso numero diverso da zero otteniamo
una frazione equivalente a quella data.
Ma allora a partire da una sola frazione possiamo
ottenerne infinite tutte equivalenti fra loro e che
determinano un insieme.
Chiamiamo numero razionale assoluto proprio
ogni insieme di frazioni tra loro equivalenti.
Si preferisce assumere come rappresentante
dell’insieme la frazione in forma ridotta.
16
Esempi
2 4 6 8

 , , , ,......... .
 3 6 9 12

 5 10 15 20

 , , , ,...... 
 4 8 12 16

E' il caso osservare che qualunque numero naturale
si può scrivere come numero razionale avente
l' unità per denominato re.
5
12
5
12 
.......... .......
1
1
17