Le frazioni continue
Una frazione continua è il numero ottenuto al limite di un particolare
procedimento ricorsivo. Ne descriviamo uno. Data una successione di
interi positivi a0, a1, a2, a3, a4,…, si inizia scrivendo il numero
a0 +1/a1,
quindi si aggiunge al denominatore a1 la frazione 1/a2:
a0 + 1/ (a1 + 1/a2),
e poi, al terzo passo, si aggiunge 1/a3 al denominatore a2:
a0 + 1/ (a1 + 1/(a2 + 1/a3)).
Si prosegue in questo modo, sommando, al passo n-esimo, 1/an al
denominatore an-1. Si ottiene, al limite, una frazione con infiniti
denominatori:
1
a0 +
1
a1 +
1
a2 +
a3 +…
I numeri irrazionali, come, ad esempio, il numero aureo, possono
essere rappresentati mediante frazioni continue. Il primo ad avere
quest’idea fu Bombelli, nel Cinquecento. Egli trovò, ad esempio, il
seguente risultato:
4
13 = 3 +
6+
4
6+
4
6 +…
Noi oggi lo scriviamo in questa forma, ma il nostro simbolismo è molto
diverso da quello usato da Bombelli. Il metodo delle frazioni continue
per l’estrazione delle radici quadrate fu ulteriormente sviluppato da
Pietro Antonio Cataldi (1552 –1626). Successivamente Lagrange lo
estese alla risoluzione delle equazioni algebriche.
Le frazioni continue possono essere utilizzate per la risoluzione
approssimata delle equazioni algebriche, come mostra, ad esempio
un brano di un testo didattico ottocentesco dell’Abbé Marie.
La prima definizione rigorosa di frazione continua è dovuta ad Eulero.
Interrompendo il processo iterativo al passo n-esimo si ottiene un
numero razionale: esso approssima il valore della frazione continua
in maniera tanto più accurata quanto maggiore è n. In altri termini, i
numeri razionali costruiti passo dopo passo formano una successione
il cui limite è il numero irrazionale considerato.
Una frazione continua si dice periodica se la successione dei termini
a0, a1, a2, … , da un certo punto in poi, è formata dalla ripetizione
indefinita della stessa sequenza finita di numeri. Un interessante
risultato sulle frazioni continue periodiche che sono radici di
equazioni algebriche è dovuto a Galois.
Nel Seicento, il matematico inglese William Brouncker, che fu
collaboratore di John Wallis, trovò questa interessante identità:
4
1
=1+
32
2+
2+
52
72
2 + ….
