Foglio di esercizi n. 2

Esercizi di Statistica ∼ Laurea in Biologia Molecolare
Francesco Caravenna
Foglio 2. (19–23 aprile 2010)
Esercitazione del 22 aprile 2010
Esercizio 1. Una busta contiene tre carte, che indicheremo con le lettere A, B e C.
La carta A ha entrambe le facce rosse, la carta B le ha entrambe nere mentre la carta
C ha una faccia rossa e una nera. Con gli occhi chiusi, scelgo una carta a caso e la
depongo sul tavolo su uno a caso dei suoi due lati. Se il lato che vedo è rosso, qual è
la probabilità che anche l’altro lato sia rosso? [ 32 ]
Esercizio 2. Viene effettuato uno screening test a un individuo per rivelare la
presenza di una malattia. Definiamo gli eventi
A := “l’individuo risulta positivo allo screening test”
B := “l’individuo è affetto dalla malattia” .
La sensibilità del test è definita dai valori
P (A|B c ) = 0.02 .
P (A|B) = 0.99
Indichiamo col parametro x ∈ (0, 1) l’incidenza della malattia nella popolazione, cioè
x = P (B) (può essere pensata come la frazione di persone affette dalla malattia). Si
determinino in funzione di x le probabilità condizionate P (B|A) e P (B|Ac ) — che
descrivono la preddittività del test — e se ne calcoli il valore per x = 4%, x = 0.4%
0.99x
0.01x
e x = 0.04%. [P (B|A) = 0.97x+0.02
→ 67.3%, 16.6%, 1.9%, P (B|Ac ) = 0.98−0.97x
→
0.04%, 0.004%, 0.0004%]
Esercizio 3. Ho due monete distinte, che indico con α e β. La moneta α è regolare,
mentre la moneta β è “truccata”: la probabilità di ottenere testa vale 0.7. Scelgo una
delle due monete a caso e la lancio.
a) Qual è la probabilità di ottenere testa? [0.6]
b) Se ottengo testa, qual è la probabilità che la moneta lanciata sia stata α? [0.42]
Esercizio 4. Da un mazzo di 52 carte da poker si estraggono a caso 5 carte.
a) Qual è la probabilità che
estratte siano dello stesso seme (5 cuori, oppure
le52carte
13
5 quadri, ecc.)? [4 · 5 / 5 ≈ 0.00198]
b) Qual è la probabilità di fare poker, cioè che tra le 5 carte ce ne siano 4 dello
stesso tipo (4 assi, oppure 4 re, ecc.)? [13 · 48/ 52
≈ 0.00024]
5
Esercitazione del 23 aprile 2010
Esercizio 5. Dispongo di due mazzi di 52 carte da poker.
1
2
a) Se estraggo casualmente due cartedal primo mazzo, qual è la probabilità che
4 3
1
1
entrambe le carte siano regine? [ 42 / 52
= 52
= 13·17
= 221
' 0.4%]
2
51
b) Se invece estraggo casualmente una carta da ciascun mazzo, qual è la probabilità
1
1 2
) = 169
' 0.6%]
che entrambe le carte siano regine? [( 13
Esercizio 6. Sia S uno spazio campionario finito, munito di una probabilità P , e
siano A, B sottoinsiemi di S (dunque eventi).
a) Può essere che P (A) = 23 , P (B) = 12 e A ∩ B = ∅? [No: significherebbe che
P (A ∪ B) = 76 > 1.]
b) Può essere che P (A) = 14 , P (B) = 12 e A ∪ B = S? [No: significherebbe che
P (A ∩ B) = − 14 < 0.]
Esercizio 7. Quanti sono gli anagrammi della parola CIAO? [4! = 24]
Esercizio 8. Si lanciano due dadi regolari a sei facce.
a) Si dimostri che gli eventi A := “il primo dado dà come risultato 2” e B := “la
somma dei due dadi vale 7” sono indipendenti.
b) Si dimostri che gli eventi A := “il primo dado dà come risultato 2” e B := “la
somma dei due dadi vale 5” non sono indipendenti.
Esercizio 9. Si lancia per due volte una moneta equilibrata. Si considerino gli eventi
A := “nel primo lancio esce testa”
B := “nel secondo lancio esce testa”
C := “nei due lanci, presi insieme, esce esattamente una testa” .
Naturalmente gli eventi A e B sono indipendenti.
a) Si dimostri che gli eventi A e C sono indipendenti, così come anche gli eventi B
e C.
b) Si dimostri che i tre eventi {A, B, C} non sono indipendenti.
Esercizio 10. Lancio tre volte un dado regolare a sei facce. Indichiamo con X il
numero di volte che è uscito “1”. Si noti che X è una variabile aleatoria. Si determinino
i valori assunti da X e le relative probabilità. [X(S) = {0, 1, 2, 3}, P (X = 0) = ( 56 )3 ,
P (X = 1) = 3( 61 )( 56 )2 , P (X = 2) = 3( 16 )2 ( 65 ), P (X = 3) = ( 16 )3 ]