Decisioni in condizioni di rischio

DECISIONI IN CONDIZIONI
DI RISCHIO
Progetto Lauree Scientifiche.
Liceo Scientifico Benedetti – Venezia
Prof. Elio Canestrelli, 15 dicembre 2005
Approccio quantitativo
(matematico-statistico-economico)
RISCHIO: - definizione
- criteri di misurazione
Rischio = possibilità che si realizzi un risultato
diverso da quello atteso
Una misura del rischio (molto usata) =
dispersione dei risultati dal risultato atteso
varianza statistica
In condizioni di rischio, di fronte a due possibili
decisioni aleatorie A e B, quale conviene scegliere ?
Si può enunciare un criterio che indichi al
decisore razionale la scelta migliore tra le due
alternative possibili A e B ?
Esaminiamo alcuni criteri formulati storicamente.
Blaise Pascal (1623-1662)
Scommessa (“le pari”) sull’esistenza di Dio,
a cui l’uomo non può sottrarsi, perché imprigionato
nel gioco assurdo e tragico dell’esistenza.
Seguendo l’impostazione di
János Lájos von Neumann (1903-1957),
presentata nel 1928 (“Sulla teoria dei giochi di società”),
si può ricorrere alla seguente matrice perdite/guadagni:
DIO
ESISTE
DIO
NON ESISTE
Mi comporto
come se Dio
esistesse
Una infinità
di vita
infinitamente
felice
Rinuncia ai
piaceri mondani
Mi comporto
come se Dio
non esistesse
Dannazione
eterna
Godimento dei
piaceri mondani
Assegnando probabilità finite ai due stati del mondo:
Dio esiste
Dio non esiste
probabilità p
probabilità 1-p
si possono calcolare i risultati attesi (valori medi, media)
associati alle due decisioni A e B:
Valore atteso (media) della decisione A = +  (+ infinito)
Valore atteso (media) della decisione B = -  (- infinito)
Conclusione:
Mi conviene comportarmi come se Dio esistesse
1° CRITERIO DI SCELTA
IN CONDIZIONI DI RISCHIO
(B. Pascal, 1658 circa)
“MASSIMIZZAZIONE
DEL
RISULTATO ATTESO”
Paradosso di San Pietroburgo discusso nel 1738 da
Daniel Bernoulli (1700-1782):
Lanci ripetuti di una moneta non truccata.
Se esce TESTA al primo lancio il giocatore vince 1;
se invece esce CROCE si rilancia la moneta e se esce TESTA al
secondo lancio il giocatore vince 2;
se invece esce CROCE si rilancia la moneta e se esce TESTA al
terzo lancio il giocatore vince 4;
….. e così via sempre raddoppiando la vincita.
Il gioco termina la prima volta che esce TESTA.
Il giocatore (decisore) che accetta di entrare in questo
gioco vince sempre (almeno 1).
Quanto è disposto a pagare per entrare nel gioco ?
Valore atteso (media) del risultato del gioco:
1
1
1
1 1 1
(1 )  ( 2  )  ( 4  )  ...     ...  
2
4
8
2 2 2
Paradosso: non è equo pagare un importo infinito
per ottenere in cambio un importo finito.
Seguendo il criterio “massimizzazione del risultato
atteso” di B. Pascal, la decisione di entrare in questo
gioco è da preferirsi a qualunque importo monetario.
Conclusione
Massimizzazione del risultato atteso
2° CRITERIO DI SCELTA
IN CONDIZIONI DI RISCHIO
(D. Bernoulli, 1738)
“MASSIMIZZAZIONE DEL
LOGARITMO ATTESO
DEL RISULTATO”
3° CRITERIO DI SCELTA
IN CONDIZIONI DI RISCHIO
(D. Cramer ,1704-1752)
“MASSIMIZZAZIONE DELLA
RADICE QUADRATA ATTESA
DEL RISULTATO”
Ma perché gli importi devono essere trasformati mediante
una funzione matematica (sia essa il logaritmo o la radice
quadrata o un’altra conveniente funzione) ?
Il quesito viene definitivamente chiarito nel 1944 da
J. L. von Neumann (1903-1957) e da
Oskar Morgenstein (1902-1977), che
con il lavoro “ Theory of Games and Economic Behavior”
fondano la TEORIA DELL’UTILITÀ.
Presentano una teoria non solo in grado di descrivere le
interazioni puramente economiche, ma anche applicabile
ad un più vasto contesto di questioni industriali, politiche,
militari, ambientali, ecc…
In sintesi:
Ogni decisore ha una sua propria funzione di utilità, ad es.
• la funzione di B. Pascal:
(utilità del risultato = valore del risultato = funzione identica)
• la funzione di D. Bernoulli
(utilità del risultato = logaritmo del valore del risultato)
• la funzione di D. Cramer
(utilità del risultato = radice quadrata del valore del risultato)
La funzione di utilità tiene conto e incorpora
l’atteggiamento del decisore nei riguardi del rischio:
Funzione concava
avverso al rischio
Funzione convessa
propenso al rischio
Funzione lineare
indifferente al rischio
3,500
3,000
2,500
convessa
2,000
concava
1,500
1,000
0,500
0,000
0
5
10
15
0
20
Avverso al rischio
10
20
30
Propenso al rischio
400
6
350
5
300
4
250
lineare
3
mista
200
150
2
100
1
50
0
0
5
10
15
20
25
30
35
0
0
Indifferente al rischio
10
20
Realistico
30
40
4° CRITERIO DI SCELTA
IN CONDIZIONI DI RISCHIO
(Teoria dell’utilità, 1944 e seg.)
“MASSIMIZZAZIONE DELLA
UTILITÀ ATTESA”
PROCEDURA per assumere decisioni
in condizioni di rischio:
Per ciascuna decisione A, B, ecc…
1.
2.
3.
4.
5.
valutare i possibili risultati conseguenti alla decisione,
associare ai risultati una distribuzione di probabilità
determinare la funzione di utilità del decisore,
calcolare l’utilità associata a ciascun possibile risultato (1.),
mediante la distribuzione di probabilità (2.), calcolare
l’utilità (3.) attesa (media).
Calcolata così l’utilità attesa associata ad ogni decisione,
il decisore razionale assuma quella decisione a cui
corrisponde la massima utilità attesa.
Con questa procedura
si tiene conto dell’atteggiamento
del decisore nei riguardi del rischio
attraverso la sua funzione di utilità.