g`(x)

Funzioni esponenziali
e logaritmiche
ricordare che
y  log a x
y
y
base=2

base=e

base=10
x



base=1/10

base=20
x



base=1/e

base=1/2

se se0 a a1 1

ya
ricordare che
x
y
y


base=10
base=e


base=2
base=1/2
base=1/e
base=1/10
x



x


sese0 a a 1 1
Dal teorema di De L’Hospital si
ricava che
  0
lim
x  
ex
 

x
ln x
0
lim

x  x
cioè per x   l’esponenziale è
un infinito di ordine superiore a
qualunque potenza, mentre il
logaritmo è un infinito di ordine
inferiore.
un caso particolare di
funzione composta
Il grafico di
ye
g ( x)
Si può dedurre facilmente
da quello di
y  g (x)
Infatti…
Dominio:
Il dominio di
ye
g ( x)
è uguale a quello di g(x)
Segno:
y  e g ( x)
è sempre positiva e in particolare
se
se
se
g ( x)  0
g ( x)  0
g ( x)  0



e g ( x)  1
e g ( x)  1
e g ( x)  1
Limiti:
se
se
g ( x)  

e g ( x )  0
g ( x)  

e g ( x )  
Derivata e andamento:
le derivate delle due funzioni hanno lo stesso segno,
(infatti la derivata di eg(x) è g’(x)eg(x))
quindi le due funzioni hanno lo stesso andamento:
• se g(x) cresce, anche eg(x) cresce,
• se g(x) decresce, anche eg(x) decresce,
• se g(x) ha un punto di minimo o di massimo anche eg(x) ha
un punto di minimo o di massimo
… ecco qualche esempio
g ( x)  ax  bx  c
2
exp.wp2
ye
ax2 bxc
ax  b
g ( x) 
xc
ye
axb
x c
exp1.wp2
Un altro caso particolare di
funzione composta
Il grafico di
y  ln g ( x)
Si può dedurre facilmente
da quello di
y  g (x)
Infatti…
Dominio:
Il dominio di y  ln g ( x)
È dato dai valori di x per i quali g(x)>0
Segno:
y  ln g ( x)
Ricordando il grafico del logaritmo naturale:
se g ( x)  1


se g ( x)  1
se 0  g ( x)  1 
ln g ( x)  0
ln g ( x)  0
ln g ( x)  0
Limiti:
se
se
g ( x)  0 

g ( x)   
ln g ( x)  
ln g ( x)  
Derivata e andamento:
le derivate delle due funzioni hanno lo stesso segno,
(infatti la derivata di ln[g(x)] è g’(x)/g(x) quindi le due
funzioni hanno lo stesso andamento:
• se g(x) cresce, anche ln[g(x)] cresce,
• se g(x) decresce, anche ln[g(x)] decresce,
• se g(x) ha un punto di minimo o di massimo anche ln[g(x)]
ha un punto di minimo o di massimo
… ecco qualche esempio
g ( x)  ax  bx  c
2

y  ln ax 2  bx  c

log.wp2
ax  b
g ( x) 
xc
ax  b
y  ln
xc
log1.wp2