Lezione N. 19

Le sei rappresentazioni classiche
Lezione 19
1
Rappresentazione con
Ammettenze 1/2
Lezione 19
Vettore tensione
V1
V2
ingresso
Vettore corrente
I1
I2
uscita
Y11
Matrice ammettenze : Y =
Y21
Y12
Y22
2
Rappresentazione con
Ammettenze 2/2
• Quando essa è possibile, la
rappresentazione con ammettenze (in
corto circuito) è definita da:
oppure in
I1 = Y11 V1 + Y12 V2
forma
I =YV
matriciale
I 2 = Y21 V1 + Y22 V2
Lezione 19
3
Esempio
• Trasformatore ideale
A11 = 1,
A12 = − K , B11 = 0, B12 = 0
A21 = 0,
1
A22 = 0 , B21 = 1, B22 =
K
È impossibile rappresentare un trasformatore ideale con
ammettenze
Lezione 19
4
Determinazione delle
ammettenze 1/2
Y11
colonna
Y21
Y11 è l’ammettenza vista dalla
porta 1 quando la porta 2 è
corto circuitata
I1 = Y11 V1 + Y12 V2
I 2 = Y21 V1 + Y22 V2
Lezione 19
I1
Y11 =
V1 V =0
2
I2
Y21 =
V1 V =0
2
5
Determinazione delle
ammettenze 2/2
Y12
colonna
Y22
Y22 è l’ammettenza vista dalla
porta 2 quando la porta 1 è
corto circuitata
I1 = Y11 V1 + Y12 V2
I 2 = Y21 V1 + Y22 V2
Lezione 19
I1
Y12 =
V2
V1 = 0
I2
Y22 =
V2
V1 = 0
6
Legame ammettenze impedenze
• Quando un doppio bipolo è rappresentabile
con impedenze ed ammettenze risulta
Y = ( Z ) −1
Z = (Y ) −1
• Un doppio bipolo rappresentabile con
impedenze e con determinante nullo di Z,
non ha rappresentazione con ammettenze
• Un doppio bipolo rappresentabile con
ammettenze e con determinante nullo di Y,
Lezione 19
non ha rappresentazione con impedenze 7
Reciprocità
• I doppi bipoli reciproci rappresentabili con
ammettenze hanno una matrice di
ammettenze simmetrica:
Y12 = Y21
Lezione 19
8
Esempio con trasformatore 1/6
I1 = Y11 V1 + Y12 V2
I 2 = Y21 V1 + Y22 V2
Lezione 19
9
Esempio con trasformatore 2/6
Y11
colonna
Y21
• Riportando il carico del secondario
al primario:
V1 = 2 ( s × 1 + 1) I1 = 4(1 + s ) I1
2
I1
1
⇒ Y11 =
=
V1 V =0 4( s + 1)
2
Lezione 19
10
Esempio con trasformatore 3/6
Y11
colonna
Y21
• Dalla maglia a
destra:
V1 V1
= = −( s ×1 + 1) I 2 = −( s + 1) I 2
k
2
Lezione 19
I2
1
=−
⇒ Y21 =
2(1 + s )
V1 V =0
2
11
Esempio con trasformatore 4/6
Y12
colonna
Y22
• Riportando il carico del secondario (corto
circuito nella porta 1) al secondario:
1
s +1
V2 = ( s × 1 + 1) || I 2 = 2
I2
s
s + s +1
Lezione 19
I2
⇒ Y22 =
V2
s2 + s + 1
=
s +1
V =0
1
12
Esempio con trasformatore 5/6
Y12
colonna
Y22
• Dalla maglia a destra:
V2 = − ( s × 1 + 1)( kI1 ) = −2( s + 1) I1
Lezione 19
⇒ Y12 =
I1
V2
=−
V1 = 0
1
= Y21
2(1 + s )
13
Esempio con trasformatore 6/6
I1 = Y11 V1 + Y12 V2
I 2 = Y21 V1 + Y22 V2
Lezione 19
Y=
1
4(1 + s )
1
−
2(1 + s )
1
−
2(1 + s )
s2 + s + 1
1+ s
14
Rappresentazione con circuito a
Pi greca 1/2
• Un doppio bipolo reciproco e rappresentabile
con ammettenze, ammette una
rappresentazione circuitale con un circuito a
Pi greca. Indicando con Y11, Y12, Y21, e Y22,
le ammettenze risulta
Y1 = Y11 + Y12
Y2 = Y22 + Y12
Y3 = −Y12
Lezione 19
15
Rappresentazione con circuito a
Pi greca 2/2
• Un doppio bipolo non reciproco e
rappresentabile con ammettenze, ammette
una rappresentazione circuitale con un
circuito a pi greca che presenta un
generatore pilotato di corrente su uno dei
lati, per tenere conto della non reciprocità
Y1 = Y11 + Y12
Y2 = Y22 + Y12
Y3 = −Y12
Aˆ = (Y21 − Y12 )V1
Lezione 19
16
Esempio
• Rappresentare il doppio bipolo avente
la matrice di ammettenza Y indicata con
un circuito a Pi greca
Y=
1
4(1 + s )
1
−
2(1 + s )
Lezione 19
−
1
2(1 + s )
s2 + s + 1
1+ s
1
2s 2 + s + 1
1
, Y2 =
, Y3 =
⇒ Y1 = −
2(1 + s )
2(1 + s )
2(1 + s )
17
Le sei rappresentazioni classiche
Lezione 19
18
Generalità 1/2
• Gruppi ibridi:
– In questi due gruppi le grandezze di ingresso
e di uscita non sono dello stesso tipo:
• gruppo ibrido diretto:
gli ingressi sono la corrente I1 e la tensione V2.
Le uscite la tensione V1 e la corrente I2.
• i parametri della rappresentazione vengono
chiamati parametri h
Lezione 19
19
Generalità 2/2
• gruppo ibrido inverso:
gli ingressi sono le tensione V1 e la corrente I2, le
uscite la corrente I1 e la tensione V2
• i parametri della rappresentazione vengono
chiamati parametri g
Lezione 19
20
Le sei rappresentazioni classiche
Lezione 19
21
Parametri h 1/2
Vettore ingresso
Vettore uscita
h11
Matrice ibrida : h =
h 21
Lezione 19
V1
I2
I1
V2
ingresso
uscita
h12
h 22
22
Parametri h 2/2
• Per modellare transistori è molto utile la
rappresentazione con parametri h:
V1 = h11 I1 + h12 V2
I 2 = h21 I1 + h22 V2
Lezione 19
oppure in
forma
matriciale
V1
I1
=h
I2
V2
23
Esempio
• Trasformatore ideale
A11 = 1,
A12 = − K , B11 = 0, B12 = 0
A21 = 0,
1
A22 = 0 , B21 = 1, B22 =
K
È possibile rappresentare un trasformatore ideale con
parametri h:
0
h=
−K
Lezione 19
K
0
24
Determinazione dei parametri h
1/2
h11
colonna
h 21
h11 è l’impedenza vista
dalla porta 1 quando la
porta 2 è corto circuitata
V1 = h11 I1 + h12 V2
Lezione 19
I 2 = h21 I1 + h22 V2
V1
h11 =
I1 V =0
2
I2
h21 =
I1
V2 = 0
25
Determinazione dei parametri h
2/2
h12
colonna
h 22
h22 è l’ammettenza vista
dalla porta 2 quando la
porta 1 è aperta
V1 = h11 I1 + h12 V2
I 2 = h21 I1 + h22 V2
Lezione 19
V1
h12 =
V2
I2
h22 =
V2
I1 = 0
I1 = 0
26
Reciprocità
• I doppi bipoli reciproci rappresentabili con
gruppo h hanno la seguente proprietà:
h12 = −h21
Essendo reciproco, il trasformatore ideale rispetta questa
proprietà
Lezione 19
27
Esempio 1/6
V1 = h11 I1 + h12 V2
I 2 = h21 I1 + h22 V2
Lezione 19
28
Esempio 2/6
h11
colonna
h 21
• h11 è l’impedenza vista dalla porta 1
con porta 2 corto circuitata:
V1
= 10 + 5 || 5 = 12.5 Ω
h11 =
I1 V =0
2
Lezione 19
29
Esempio 3/6
h11
colonna
h 21
• Dal partitore di corrente
:
5
1
I2
I2 = −
I1 = − I1 ⇒ h21 =
I1
5+5
2
Lezione 19
1
= − = −0.5
2
V =0
2
30
Esempio 4/6
h12
colonna
h 22
• h22 è l’ammettenza vista dalla porta 2 con
porta 1 aperta:
I2
h22 =
V2
Lezione 19
1
1
=
= = 0.1 S
5 + 5 10
I =0
1
31
Esempio 5/6
h12
colonna
h 22
• Dal partitore di tensione:
V1 =
Lezione 19
5
1
V2 = V2
5+5
2
⇒ h12 =
V1
V2
= 0.5 = −h21
I1 = 0
32
Esempio 6/6
V1 = h11 I1 + h12 V2
I 2 = h21 I1 + h22 V2
Lezione 19
12.5 0.5
h=
−0.5 0.1
33
Rappresentazione con
generatori pilotati
• Un doppio bipolo definito dai parametri h è
rappresentabile con il doppio bipolo in
figura:
Lezione 19
34
Le sei rappresentazioni classiche
Lezione 19
35
Parametri ibridi g 1/2
V1
Vettore ingresso
I2
Vettore uscita
Matrice ibrida inversa : g =
Lezione 19
g11
I1
V2
ingresso
uscita
g12
g 21 g 22
36
Parametri ibridi g 2/2
• La rappresentazione ibrida inversa è
definita dai parametri g:
I1 = g11 V1 + g12 I 2
V2 = g 21 V1 + g 22 I 2
Lezione 19
oppure in
forma
matriciale
I1
V2
=g
V1
I2
37
legame h-g
• Quando un doppio bipolo è rappresentabile
con parametri ibridi h e g risulta:
g = (h) −1
h = ( g ) −1
• Un doppio bipolo rappresentabile con
parametri ibridi h ed avente determinante
di h nullo, non è rappresentabile con
parametri g
• Un doppio bipolo rappresentabile con
parametri ibridi g ed avente determinante
di g nullo, non è rappresentabile con
Lezione 19
38
parametri h
Determinazione dei parametri g
1/2
g11
colonna
g 21
g11 è l’ammettenza vista
dalla porta 1 quando la
porta 2 è aperta
I1 = g11 V1 + g12 I 2
V2 = g 21 V1 + g 22 I 2
Lezione 19
I1
g11 =
V1
I2 =0
V2
g 21 =
V1
I2 =0
39
Determinazione dei parametri g
2/2
colonna
g22 è l’impedenza vista
dalla porta 2 quando la
porta 1 è corto circuitata
I1 = g11 V1 + g12 I 2
V2 = g 21 V1 + g 22 I 2
Lezione 19
I1
g12 =
I2
g12
g 22
V1 = 0
V2
g 22 =
I2
V1 = 0
40
Reciprocità
• I doppi bipoli reciproci rappresentabili con
gruppo g hanno la seguente proprietà:
g12 = − g 21
Essendo reciproco, il trasformatore ideale rispetta questa
proprietà
Lezione 19
41
Esempio con generatore
pilotato 1/6
I1 = g11 V1 + g12 I 2
V2 = g 21 V1 + g 22 I 2
Lezione 19
42
Esempio con generatore
pilotato 2/6
colonna
g11
g 21
• La corrente che percorre 1 ohm vale: I1+2I1=3I1
V2 = 1× 3I1 = 3I1
V1 = s × 1 I1 + V2 = ( s + 3) I1
I1
1
=
⇒ g11 =
V1 V =0 s + 3
2
Lezione 19
43
Esempio con generatore
pilotato 3/6
colonna
g11
g 21
• Dalla maglia a sinistra:
V1 = sI1 + 3I1 = ( s + 3) I1
V2 = 3I1
Lezione 19
V2
⇒ g 21 =
V1
I2
3
=
s+3
=0
44
Esempio con generatore
pilotato 4/6
colonna
g12
g 22
• La corrente che percorre 1 ohm vale: I1+2I1+I2
• La corrente che percorre 1 H vale: I1
V2 = 1× ( I1 + 2 I1 + I 2 ) , V2 = − s ×1 I1
Lezione 19
1
I1 = −
I2
s+3
I1
g12 =
I2
⇒
1
=−
s+3
V =0
1
45
Esempio con generatore
pilotato 5/6
colonna
g12
g 22
V2 = 1× ( I1 + 2 I1 + I 2 ) = − s ×1I1
⇓
1
I1 = −
I2
s+3
Lezione 19
⇓
s
V2 =
I2
s+3
⇒
V2
g 22 =
I2
s
=
s+3
V =0
1
46
Esempio con generatore
pilotato 6/6
I1 = g11 V1 + g12 I 2
V2 = g 21 V1 + g 22 I 2
Lezione 19
1
1
−
s+3
s+3
g=
3
s
s+3 s+3
47