Elementi di Calcolo delle Probabilità

Elementi di calcolo delle
probabilità
• Il calcolo delle probabilità ha avuto origine con
i giochi d’azzardo per valutare l’alea (casualità)
legata alle puntate sui dadi e sulle carte da
gioco
• Attualmente il calcolo delle probabilità trova
applicazioni in numerose discipline tecniche e
scientifiche
• Il concetto di probabilità trova rispondenza nel
linguaggio comune senza necessità di
definizioni:
“Prendi l’ombrello, è probabile che oggi piova”
• Tuttavia è necessario definire la probabilità in
termini matematici (“numerici”) al fine di poter
trattare questo concetto naturale anche in modo
quantitativo
• Esistono diverse formulazioni del concetto di
probabilità che nel corso del tempo sono state
proposte, classificabili in due categorie:
– definizione con criteri oggettivi;
– definizione con criteri soggettivi, cioè basati sulla
percezione individuale di una realtà fisica.
Definizione a priori della
probabilità (o classica)
• Definizione:
– La probabilità di un evento E è definita come il
rapporto tra il numero s dei risultati favorevoli (cioè
il numero dei risultati che determinano E) ed il
numero n dei risultati possibili:
s
PE  
n
purché i risultati siano tutti ugualmente possibili e
tra loro incompatibili
Definizione a posteriori della
probabilità (o frequentista)
• Definizione :
– Se si definisce come frequenza assoluta ne, o
semplicemente frequenza, di un evento E il numero
di volte in cui si è presentato l’evento favorevole,
detto N il numero di volte in cui si è ripetuto
l’esperimento nelle medesime condizioni, il
rapporto:
ne
fE 
N
viene chiamato frequenza relativa
Definizione a posteriori della
probabilità (o frequentista)
• La definizione frequentista della probabilità è
quella che assume come valore della probabilità
di un evento E il valore limite a cui tende la
frequenza relativa di quell’evento al tendere del
numero delle prove ad infinito
PE   lim
f
E
N 




P lim
f

P
E



1
E
N 
Definizione di probabilità
soggettiva
• La definizione di probabilità soggettiva verte
sulla misura in cui un soggetto ritiene che si
verifichi l’evento in questione
• La definizione quantitativa è associata ad un
tasso relativo ad un’ipotetica scommessa
sull’evento stesso.
• P[E] = tasso a cui si è disposti a giocare
sull’evento E
(non sapendo su cosa scommette un eventuale giocatore)
Definizione assiomatica di
probabilità
• Le definizioni di probabilità fin qui presentate
non sono in generale utilizzabili per vari motivi.
• Per ovviare a questa assenza di generalità delle
definizioni presentate la scelta preferibile sul
piano teorico (non operativo in generale) è
quella di utilizzare una definizione assiomatica
di probabilità.
• Definizione:
– Si dice fenomeno casuale (o aleatorio) un fenomeno
empirico il cui risultato non è prevedibile a priori,
caratterizzato cioè dalla proprietà che la sua
osservazione in un insieme fissato di circostanze
non conduce sempre agli stessi risultati
• Definizione:
– L’insieme costituito da tutte le osservazioni
possibili, cioè tutti i risultati possibili a priori, viene
detto spazio campione S (Sample Space)
• Definizione:
– Definiamo un evento E un sottoinsieme di S
• Definizione:
– Nella loro totalità gli eventi formano lo spazio degli
eventi A
S
E
S
E
F
EF
Diagramma di Venn
Evento intersezione
• …
• …
• Definizione:
– Due eventi E ed F si dicono incompatibili o
mutuamente escludentisi se gli insiemi delle loro
descrizioni sono disgiunti, cioè se
EF  E  F  
S
E
F
Eventi incompatibili
Assiomi di Kolmogoroff
• Una funzione di probabilità P è una funzione di
insieme che ha come dominio lo spazio degli
eventi, come codominio l’intervallo [0,1] e che
soddisfa i seguenti assiomi:
PE   0
PS   1
E  A


P  Ei    PEi 
i  i
con Ei eventi (di A) che si escludono a vicenda