I numeri complessi

I numeri… complessi
o no?
VOGLIAMO ESTRARRE LA
RADICE QUADRATA DI UN
NUMERO NEGATIVO
4
Matematicamente possiamo:

decidere che tale calcolo non si può eseguire

creare un insieme di numeri in cui tale calcolo
si può eseguire
Optiamo per la seconda
ipotesi
Eureka !
Cominciamo con l’osservare che non vi è alcun
numero reale il cui quadrato sia uguale a -1.
Però nulla impedisce di creare un nuovo “numero”,
fuori dall’insieme R dei numeri reali, il quale
soddisfi a questa condizione.
Questo nuovo numero si suole indicare con la
lettera i e si chiama:
UNITA’ IMMAGINARIA
Quindi poniamo:
i  1
2
L’unità immaginaria è un po’
“strana”
infatti
i  1
2
i  i  i   1  i  i
3
2
i  i  i   1   1  1
4
2
2
i  i  i   i    1  i
5
3
2
L’unità immaginaria ha, con le sue
potenze, un “piede” nell’insieme dei
numeri reali.
Le sue potenze sono “cicliche” di ciclo 4,
infatti i valori si ripetono ogni quattro.
i
-1
+1
-i
In un riferimento cartesiano ortogonale
poniamo
sull’asse delle ascisse
i numeri reali
sull’asse delle ordinate
i “numeri immaginari”
ottenuti moltiplicando
un numero reale per
l’unità immaginaria i
Un
numero complesso
sarà un numero del tipo
a  bi
dove
a e b sono numeri reali
a si chiama parte reale del numero complesso
ib si chiama parte immaginaria del numero
complesso
In questo modo è nato
un nuovo insieme di
numeri
i numeri complessi
Rappresentiamo con un insieme
tutti i numeri che conosciamo
Complessi
a+ib
Reali
a
Immaginari
bi
Diamo qualche definizione
a  ib  c  id
se e solo se
a  ib  c  id
non si può stabilire
a  ib
e a  ib
ac e bd
sono numeri complessi coniugati
Somma algebrica di numeri complessi
(a  ib )  (c  id )
REGOLA
(a  c)  i (b  d )
Esempi
(4  2i)  (6  4i )  2  6i
(3  5i )  (4  7i )  7  2i
(3  2i )  (2  4i )  (3  2i )  (2  4i )  5  6i
(3  2i )  (3  2i )  6
(5  4i )  (5  4i )  (5  4i )  (5  4i )  8i
Prodotto di numeri complessi
(a  ib )  (c  id )  ac  adi  bci  bdi 
2
 ac  adi  bci  bd 
 (ac  bd )  (ad  bc)i
In particolare:
2
2 2
2
2
(a  ib)  (a  ib)  a  b i  a  b
Si però i fattori
sono numeri
complessi!!!
Bella cosa……..!
Nell’insieme dei numeri complessi
la somma di due quadrati è
scomponibile in fattori!!!
Esempi
(3  2i )  (4  i )  (12  2)  (3  8)i  14  5i
(3  2i )  (3  2i )  9  4  13
somma di due quadrati
Reciproco di un numero complesso
Si definisce reciproco del numero complesso
c  id
il numero complesso:
c  id
c2  d 2
infatti il loro prodotto è uguale a 1
Quoziente di numeri complessi
a  ib
1
 a  ib 

c  id
c  id
c  id
 (a  ib )  2
2
c d
Esempio
2  5i
1
3i
 2  5i  
 2  5i  

3i
3i
9 1

2  5i   3  i  6  5  15  2i



9 1
10
1  17i 1 17

  i
10
10 10
Avevamo un problema
l’abbiamo risolto
= 2i
4
introducendo i
numeri immaginari
abbiamo creato l’insieme dei numeri complessi a + ib
abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali già noti che
i numeri immaginari
abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle
già note
ma in più che in esso si possono fare operazioni vietate nell’insieme dei
reali