I numeri complessi

IL PROBLEMA
ESTRAZIONE DI RADICE
QUADRATA DI UN NUMERO
NEGATIVO
9
Matematicamente si può:
 decidere
 creare
che tale calcolo non interessa
un insieme di numeri in cui tale
calcolo si può eseguire
Optiamo per la seconda
ipotesi
ok !
1  i
 Cominciamo
con l’osservare che non vi è
alcun numero reale il cui quadrato sia
uguale a -1.
 Però nulla impedisce di creare un nuovo
“numero”, fuori dall’insieme R dei numeri
reali, il quale soddisfi a questa condizione.
 Questo nuovo numero si suole indicare con
la lettera i e si chiama
unità immaginaria
si ha quindi per definizione
2
i = -1
l’unità immaginaria è un po’
“strana”
l’unità immaginaria ha, con le sue potenze,
un “piede” nell’insieme dei numeri reali
le sue potenze sono “cicliche” di ciclo 4,
infatti i valori si ripetono ogni quattro
i
-1
+1
-i
in un riferimento cartesiano ortogonale
poniamo
 sull’asse
delle ascisse
i numeri reali
 sull’asse
delle ordinate
i “numeri immaginari”
ottenuti moltiplicando un
numero reale per l’unità
immaginaria i
Rappresentazione Geometrica
P=(a,b)
b
a
a
chiamiamo
numero complesso
un numero del tipo
a+ib
con
a e b numeri reali
a si chiama parte reale del numero complesso
ib si chiama parte immaginaria del numero
complesso
è nato
 un
nuovo insieme di
numeri
i numeri complessi
Rappresentiamo con un insieme
tutti i numeri che conosciamo
Complessi
a+ib
Reali
a
Immaginari
bi
Diamo qualche definizione
a+ib=c+id
se e solo se
a=c e b=d
a+ib > c+id
non si può stabilire
a+ib e a-ib
complessi coniugati
Somma algebrica di numeri
complessi
(a+ib)+(c+id)
(a+c)+(b+d)i
esempi
(3+2i)+(-5+7i)=-2+9i
(-2-4i)+(-3+5i)=-5+i
(4+7i)-(-2+5i)=(4+7i)+(2-5i)=6+2i
(1+2i)+(1-2i)=2 ???????
(1+2i)-(1-2i)=(1+2i)+(-1+2i)=4i??????
Prodotto di numeri complessi
(a+ib) (c+id) = ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd =
(ac-bd)+(bc+ad)i
in particolare:
(a+ib) (a-ib) = a2- b2i2 = a2 + b2
Si però i fattori sono
numeri complessi!!!
Bella cosa……..!
Nell’insieme dei numeri complessi
la somma di due quadrati è
scomponibile in fattori!!!
esempi
(3+2i) (4-i) = (12+2)(-3+8)i = 14+5i
(3+2i) (3-2i) = 9 + 4 =13
somma di due quadrati
Reciproco di un numero
complesso
Si definisce reciproco del numero complesso c + id
il numero complesso c - id_
c2 + d2
infatti il loro prodotto è uguale a 1
Quoziente di numeri
complessi
(a+ib) / (c+id) = (a+ib) __1___
(c+id)
= (a+ib) (c-id)
c2+d2
esempio
1
2  5i   3  i   2  5i  
3i
3  i 2  5i   3  i 
2  5i 


9 1
9 1
6  5  15  2i  1  17i  1  17 i
10
10
10 10
RIASSUMIAMO
quello che abbiamo imparato
Avevamo un problema
l’abbiamo risolto
9
introducendo i
=3i
numeri immaginari
abbiamo creato l’insieme dei numeri complessi a + ib
abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali già noti che i numeri
immaginari
abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle già note
ma in più che in esso si possono fare operazioni vietate nell’insieme dei reali