NUMERI COMPLESSI. Dalla matematica sappiamo che l`uso dei

Prof. Duilio Tazzi
NUMERI COMPLESSI.
Dalla matematica sappiamo che l’uso dei numeri razionali pone dei limiti, pertanto è stato
necessario introdurre un ampliamento dei numeri reali, denominati numeri complessi essi
si presentano appunto come un ampliamento dei numeri reali, un ampliamento reso
necessario dall'impossibilità di dare significato, in campo reale, ad espressioni in cui, ad
esempio, compaiono radici o logaritmi di numeri negativi. Si rende dunque necessario
l’inserimento dei cosiddetti numeri immaginari, per i quali sono conservate le proprietà
formali delle operazioni fondamentali, allo scopo di poter continuare ad usare, anche in
campo complesso, i procedimenti del calcolo algebrico ordinario.
I numeri complessi, oltre a risolvere molti dilemmi dei matematici del '700, come de Moivre
e Argando, sono risultati veramente fondamentali per molte applicazioni pratiche, nella
moderna tecnologia: in elettronica, in elettrotecnica e in altri settori, in cui lo studio di
matrici a numeri complessi è spesso fondamentale per essere in grado di prevedere il
corretto funzionamento di un circuito o la buona riuscita di un progetto.
Nel campo dei numeri reali la risoluzione dell’equazione:
x2+1=0
resta abbastanza difficile se non impossibile, infatti sviluppando l’espressione otteniamo:
x2= -1
Qui ci troviamo davanti ad un muro, dato che non esiste nessun numero reale il cui
quadrato sia negativo, l’espressione dunque è priva di senso.
Il problema però si risolve agevolmente se consideriamo una nuova entità:
𝒊 = √−1
Questa nuova entità viene denomina “numero immaginario” e si indica con la 𝒊.
𝒊2 = 𝒊 ∙ 𝒊 = (√−𝟏)𝟐 = −𝟏
Come per i numeri reali, vale che: 𝒊 ∙ 1 = 𝒊 − mentre − 𝒊 ∙ 0 = 0
Se b è un numero reale, il prodotto - b 𝒊 - si chiama numero immaginario.
b𝒊=𝒊b
I numeri bi = ib si dicono numeri immaginari opposti.
Per le potenze ad esponente intero valgono le consuete proprietà valide per i reali, dunque
si ha:
i 0= 1;
i¹=i;
i ² = -1 ;
i ³ = i ² · i = -1 · i = - i
Cioè le prime quattro potenze di i sono: 1, i, -1, - i.
Dunque l’espressione: x2+1=0 ammette due soluzioni x1=+i e x2=-i
Cosi come l’espressione x2+4=0 ammette due soluzioni x2=-4 ovvero x1=2i e x2=-2i.
Oggetti di questo tipo prendono appunto il nome di numeri immaginari e non sono altro
che il prodotto di un numero reale per l’unità immaginaria i. La notazione generica in
matematica è la i, ma spesso in ambito tecnico si usa il simbolo j.
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A questo punto possiamo sommare o sottrarre un numero reale ed un numero immaginario
ottenendo una espressione tipo:
a+jb
questo tipo di espressione viene denominato “numero complesso”, ed è formato da una
unità reale ed una unità immaginaria.
Rappresentazione simbolica dei numeri complessi.
Un numero complesso si può rappresentare nel piano di Gauss, infatti si dimostra che esiste
una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi ed il piano cartesiano. E’ costituito da
due assi perpendicolari orientati con angolo retto. L’asse orizzontale rappresenta la parte
reale mentre quella verticale rappresenta la parte immaginaria, del numero complesso.
Pertanto possiamo dire che ad ogni numero complesso corrisponde un punto sul piano di
Gauss.
Ma un numero complesso può rappresentarsi anche in forma vettoriale come può vedersi
in figura:
Applicando il teorema di Pitagora otteniamo:
𝑎 = √𝑥 2 + 𝑦 2 = è chiamato “modulo”
L’Angolo α che il vettore a forma con la direzione positiva dell’asse reale viene denominata
“argomento”:
𝑦
𝑡𝑔 𝛼 =
𝑥
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Operazione con i numeri complessi.
Somma e Differenza
𝑎⃗ = 3 + 𝑗4 𝑒 𝑏⃗⃗ = 2 − 𝑗6
(𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗) = 3 + 𝑗4 + 2 − 𝑗6 = 5 − 𝑗2
(𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗) = 3 + 𝑗4 − (2 + 𝑗6) = 3 + 𝑗4 − 2 + 𝑗6 = 1 + 𝑗10
Le operazioni di somma e differenza dà come risultato un numero immaginario.
Prodotto.
(𝑎⃗ ∙ 𝑏⃗⃗) = (3 + 𝑗4) ∙ (2 − 𝑗4) = 6 − 𝑗18 + 𝑗8 − 𝑗 2 24 = 6 − 𝑗10 + 24 = 30 − 𝑗10
Quoziente.
𝑎⃗ 3 + 𝑗4 (3 + 𝑗4) ∙ (2 + 𝑗6)
=
=
= 0,45 + 𝑗0,65
𝑏⃗⃗ 2 − 𝑗6 (3 + 𝑗4) ∙ (2 − 𝑗6)
In questa ultima espressione possiamo notare due numeri complessi particolari che hanno
la stessa parte reale e parte immaginaria ma con segni opposti ovvero:
(2 − 𝑗6) 𝑒 (2 + 𝑗6)
Questi prendono il nome di Numeri complessi coniugati, il prodotto di due numeri
complessi coniugati è un numero reale positivo dato dalla somma del quadrato della parte
reale con il quadrato del coefficiente della parte immaginaria.
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