I NUMERI REALI E I RADICALI Esercizi in più
ESERCIZI IN PIÙ
I NUMERI IMMAGINARI
L’insieme dei numeri reali è stato introdotto come ampliamento dell’insieme dei numeri razionali, per poter
苶.
eseguire l’estrazione di radice, quale per esempio 兹2
L’estrazione di radice però non è un’operazione interna
苶苶4 non ha
all’insieme dei numeri reali. La scrittura 兹
alcun significato nell’insieme dei numeri reali: non esiste alcun numero reale che, elevato al quadrato, dia
4.
苶苶4 ocPer poter dare un significato all’espressione 兹
corre ampliare R introducendo un nuovo insieme numerico: l’insieme dei numeri immaginari.
Chiamiamo unità immaginaria i la radice quadrata di
苶苶.
1 Il quadrato dell’unità
1 e scriviamo: i 兹
immaginaria vale perciò 1, quindi i 2 1.
Ogni radice quadrata di numeri reali negativi può essere considerata un multiplo di i; per esempio:
苶苶4 兹4苶苶
(苶1)
苶 兹4苶 兹
苶苶1 2i.
兹
I numeri immaginari sono il prodotto di un numero
reale per l’unità immaginaria:
a i i a, con a R.
In particolare 1 i i 1 i e 0 i i 0 0, quindi
anche 0 è un numero immaginario.
Nell’insieme I dei numeri immaginari possiamo definire le seguenti operazioni.
Prodotto e quoziente fra un numero immaginario e
un numero reale:
ai b b ai (ab) i; ai b (a b)i(b 0).
ESEMPIO
3 6i 18i;
5
5i 2 (5 : 2)i i.
2
Il prodotto o il quoziente di un numero immaginario
per un numero reale è un numero immaginario.
Prodotto e quoziente di due numeri immaginari:
ai bi a b i 2 a b ( 1) ab;
ai (bi) a b.
ESEMPIO
2i ( 7i ) 14;
6i (2i ) 3.
Il prodotto o il quoziente di due numeri immaginari è
quindi un numero reale.
In particolare, il quadrato di un numero immaginario è
sempre un numero reale negativo, per esempio:
(5i )2 (5i) ( 5i) 25.
Potenza di un numero immaginario:
Addizione e sottrazione di due numeri immaginari:
ai bi (a b)i ;
ai bi (a b)i.
(ai ) n a n i n.
ESEMPIO
2i 3i (2 3)i 5i;
7i i (6 1)i 5i.
La somma o la differenza di due numeri immaginari è
un numero immaginario. L’addizione e la sottrazione
sono quindi due operazioni interne nell’insieme I.
L’addizione gode delle proprietà commutativa, associativa, esistenza dell’elemento neutro (lo zero), esistenza
dell’opposto.
Per il calcolo di i n conviene tenere presente il modo in
cui si susseguono i risultati delle potenze di i riportati
nella tabella. Le potenze si ripetono nell’ordine: 1, i,
1, i.
Le potenze con esponente pari valgono 1 oppure 1,
quelle con esponente dispari i o i. Una potenza di i
con esponente n è uguale alla potenza che ha per base i
e per esponente il resto della divisione fra n e 4.
ESEMPIO
(7i)2 49i 2 49;
(2i)7 27i 7 128i 3 128i.
LE POTENZE DI i
0
1
i
2
i
i
3
i
4
i
5
i
i6
i7
i8
i9
i10
i11
i12
…
1
i
1
i
1
i
1
i
1
i
1
i
1
…
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Questo file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi
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I NUMERI REALI E I RADICALI Esercizi in più
■ I numeri immaginari
1
ESERCIZIO GUIDA
Scriviamo 兹
苶苶2
1苶 sotto forma di numero immaginario.
苶苶:
1
Ricordiamo che i 2 1. Possiamo utilizzare il procedimento del «portar fuori» nel caso di 兹
苶苶2
1苶 兹(
苶苶)1
1苶2苶 兹i苶2苶2
苶2苶3
苶 2i 兹3苶.
兹
苶苶,
1 possiamo scrivere:
Oppure, tenendo presente che i 兹
兹
苶苶2
1苶 兹
苶苶1 兹12
苶 i 兹2
苶2苶3
苶 2i 兹3苶.
Scrivi le seguenti radici sotto forma di numeri immaginari.
2
兹
苶苶;
4 兹
苶苶5
2苶; 兹
苶苶;
9 兹
苶苶00
1苶.
3
兹
苶苶;
3 兹
苶苶;
5 兹
苶苶;
8 兹
苶苶7
2苶.
4
1
3
兹
苶苶44
1苶; 6
4
5
6
7
[2i; 5i; 3i; 10i]
[兹3苶i; 兹5苶i; 2 兹2苶i; 3 兹3苶i]
9
.
冪莦莦1莦96 ; 35 冪莦莦125莦
冪莦莦49莦 ; 5 冪莦莦21莦52 ; 27 冪莦莦91莦86 .
4
81
2
50
1
27
冪
; 冪
莦
; 冪
.
莦
莦
莦
莦
莦
莦
莦
3
48
5
4
3
2莦
5
冪莦2莦95 莦莦1 ; 冪1莦莦莦48莦91 ; 冪莦26莦5 莦莦53莦 .
8
2
2
2 4
兹
苶苶
x 苶;
兹
苶苶a
9苶苶;
兹
苶苶a
4苶苶
b苶 .
9
冪莦莦莦
a2
b
; 2
b
3a
冪莦莦莦莦
27a 2
b3
(a 0, b 0); 5
兹5苶
冤2i; i; 5 i冥
冤2 i ; 2 兹3苶 i ; 兹2苶 i 冥
3
兹3苶
冤兹3苶 i ; 兹2苶 i; 5 i 冥
4 兹苶2
冤5 i ; 7 i ; 5 i 冥
4
3
[兩x 兩i ; 3 兩a 兩i; 2 兩a 兩b 2i]
冪莦莦莦
x5
25
2
苶a
苶苶
苶b)
2苶(3
苶a
苶苶
苶b)
2苶苶
苶
(苶a
3苶)苶.
10 兹(3
(x 0).
冤兩 b 兩 i ; 冪莦b莦 i; x 兹x苶 i 冥
a
3
2
[2兩b 兩i]
■ Il calcolo con i numeri immaginari
11
ESERCIZIO GUIDA
Eseguiamo le quattro operazioni fra i numeri immaginari 2i e 5i.
Trattiamo i numeri immaginari come monomi nella lettera i; dobbiamo però ricordare che i è un numero e che i 2 1:
2i 5i (2 5)i 7i
2i 5i (2 5)i 3i
2i 5i 2 5 i i 10 ( 1) 10
2
2i
2i 5i .
5
i
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I NUMERI REALI E I RADICALI Esercizi in più
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
12 i 2i;
4i 2i;
8i 3i.
1
13 i i;
2
1
i i;
2
1
i i ;
2
1
1
i i.
3
2
3
2
i i.
4
9
1
4i i .
2
冢
14 i 9i;
15 3i i ;
16
17
冤
冢
冣
5i 2i;
冥
4
2
(2i 3i ) i 3
3
1
1
1
1
5
i i i i 3
2
3
2
4i 9i
冣冢
冢
冣
[2]
冣
[ 1]
Calcola il valore delle seguenti espressioni, contenenti potenze di numeri immaginari.
18 i 4; i 5; i 6; i 7.
19 i 8; i 12; i 33; i 49.
20 (兹2苶i ) 2; ( 3兹3苶i ) 3; ( 2兹5苶i) 2.
3
兹苶2 2
3
21 i ; 兹5苶i ;
6
5
冢
冣
冢
i 5
.
兹苶2
冣 冢
冣
22 i 5 2i 17 3i 25; 2i 14 7i 22 5i 30.
i 31 5i 39 4i 47
23 2 i 21 3 i 41
[0]
24
4
1
i 17 i 29
5
3
1
1
i 36 i 52
2
5
冤3 i冥
25
1
1
i 21 i 41
2
3
17
5
3 31
2 35 (2i 3i )
i i
2
3
[ i]
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