Complementi 1

Sistemi e Tecnologie della
Comunicazione
Complementi 1: numeri complessi
I numeri complessi

La definizione dei numeri complessi nasce dalla esigenza
di trovare una soluzione alla equazione:
x  1
2


che non ha soluzione nel campo dei numeri reali
L’utilizzo dei numeri complessi si rivela efficace nella
trattazione matematica di svariati problemi fisici, tra i
quali i fenomeni oscillatori (vibrazioni, correnti alternate,
fluidodinamica, …)
Vedremo una trattazione non rigorosa, ma sufficiente ad
apprenderne l’utilizzo in pratica
Definizione

Un numero complesso puo’ essere definito come
un oggetto della forma
a  ib
dove a e b sono numeri reali, ed i e’ una
quantita’, detta unita’ immaginaria, tale che
i  1
2
Somma di numeri complessi

La somma di due numeri complessi si definisce come la
normale somma algebrica di binomi:
(a  ib )  (c  id )  ( a  c )  i (b  d )
(3  2i )  ( 4  6i )  7  4i

La somma e’ dotata di elemento neutro: il numero
complesso con a=b=0 :
( a  ib )  0  a  ib

Per ogni numero complesso esiste il suo opposto:
( a  ib )  ( a  ib )  0
Prodotto di numeri complessi

Analogamente il prodotto di numeri complessi sara’:
(a  ib )  (c  id )  ac  i 2bd  iad  ibc 
(ac  bd )  i (ad  bc)

Il prodotto e’ dotato di elemento neutro: il numero complesso con
a=1 e b=0
1  (a  ib )  a  ib

Per ogni numero complesso non nullo esiste l’inverso:
1
a  ib
a  ib

 2

2
a  ib (a  ib )  (a  ib ) a  b
a
b

i
a 2  b2
a 2  b2
Parte reale e parte immaginaria

Dato il numero complesso
z  a  ib
si definisce parte reale il numero reale:
Re( z )  a
e parte immaginaria il numero reale:
Im( z )  b
Coniugato di un numero complesso

Dato un numero complesso a+ib, si definisce
coniugato quel numero complesso che ha la
stessa parte reale e parte immaginaria opposta:
a  ib  a  ib

La somma ed il prodotto di un numero complesso
con il suo coniugato hanno sempre come
risultato un numero reale:
a  ib  (a  ib )  2a
(a  ib )  (a  ib )  a  b
2
2
Rappresentazione geometrica

Cosi’ come i numeri reali possono essere
rappresentati come i punti di una retta, i numeri
complessi (coppie di numeri reali) possono essere
rappresentati come punti del piano, dove l’ascissa
corrisponde alla parte reale, l’ordinata alla parte
immaginaria del numero complesso
Rappresentazione trigonometrica

I punti del piano (quindi i numeri complessi) sono
identificabili, oltre che dalle coordinate, dai due numeri:


la lunghezza ρ: la distanza tra il punto e l’origine
la rotazione θ: l’angolo che la congiungente con l’origine forma
con l’asse delle ascisse (calcolato in senso antiorario)
Modulo e fase di un numero complesso

Si definisce modulo di un numero complesso la quantita’:
Mod( z)  z  z  z  a  b  
2

2
che coincide con la distanza del punto rappresentativo del
numero complesso nel piano dall’origine degli assi
L’angolo θ si chiama argomento (o fase) del numero
complesso:
b
Arg ( z )    arctan  
a
Relazioni tra rappresentazioni

Da quanto visto valgono le seguenti
relazioni:
a   cos( )

  a b
2
2
b
b   sin( )
  arctan  
a
Si puo’ quindi scrivere:
z  a  ib   cos( )  i sin(  )
Moltiplicazione in rappresentazione trigonometrica

La rappresentazione trigonometrica e’
comoda per il calcolo della moltiplicazione
e della potenza:
z   cos( )  i sin(  ) 
z    cos( )  i sin(  ) 
z  z   cos(   )  i sin(    )
z  ncos( n   )  i sin( n   )
n

Formula di Eulero

Consideriamo la funzione di variabile reale:
f ( y )  cos( y )  i sin( y )

Si puo’ dimostrare che che si comporta come una
funzione esponenziale con esponente
immaginario, quindi possiamo scrivere:
e  cos( y )  i sin( y )
iy
Formula di Eulero (2)

Possiamo quindi scrivere un numero complesso
nella forma:
i
z   e

le formule per la moltiplicazione e la potenza
possono essere scritte come:
i
i 
z  z    e     e     e
z 
n
   e

i n
  e
n
i n 
i    