Numeri immaginari e Numeri Complessi Numeri immaginari

Numeri immaginari e Numeri Complessi
Numeri immaginari
Considero
(− 25)
Non posso fare la radice perché non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato mi dia -25
Quale e' la causa di disturbo? Evidentemente il segno meno;
allora potrei fare la radice se non andassi a disturbare il segno meno
Isolo il segno meno
(− 1x25)
Per come ho definito il prodotto fra radicali posso fare
(− 1)x (25)
(− 1)
(25)
non la risolvo e mi limito a chiamarla i (iniziale di immaginario)
la risolvo normalmente e vale ± 5 quindi posso scrivere
(− 25) = ±5i
un numero seguito dalla i si dice numero immaginario
Proprietà di i
Il numero i = (− 1) e' l'unita' immaginaria.
Rispetto al prodotto e' ciclica, cioè dopo un certo numero (4) di passaggi si ripete:
i=
(− 1)
2
i = ixi =
3
(− 1)x (− 1) = −1
2
i = i xi = −1xi = −i
i 4 = i 2 xi 2 = −1x − 1 = 1
i 5 = i 4 xi = 1xi = i
e così via di seguito;
questa ciclicità dei numeri immaginari permette di utilizzare i numeri complessi per i fenomeni di
rotazione
Numeri complessi
I numeri complessi si incontrano in matematica quando si vanno a risolvere equazioni di secondo
grado con discriminante minore di zero
Definizione di numero complesso
Un numero si dice complesso quando e' formato da un numero reale più (o meno) un numero
immaginario. Esempio: 3 + 2i e' un numero complesso.
Siccome di solito un numero complesso deriva dalla soluzione di un'equazione di secondo grado le
radici dell'equazione saranno due e differiranno per il segno fra il numero reale e il numero
immaginario, come ad esempio: 3 ± 2i in tal caso i due numeri complessi si dicono coniugati
Operazioni fra numeri complessi
Somma fra numeri complessi
Per la somma ci rifaremo sempre alle regole studiate nei monomi considerando i come parte
letterale esempio:
sommare i due numeri complessi Z1 = 2 + 3i e Z 2 = 4 + 5i
Sommerò algebricamente la parte reale con la parte reale e la parte immaginaria con la parte
immaginaria
Z1 + Z 2 = 2 + 3i + 4 + 5i = 6 + 8i
altro esempio:
Z1 = −7 − 4i e Z 2 = 3 − 5i
Anche qui parte reale con parte reale parte immaginaria con parte immaginaria
Z1 + Z 2 = −7 − 4i + 3 − 5i = −4 − 9i
Differenza fra numeri complessi
Per la differenza basterà procedere nel solito modo: cambieremo di segno i termini dopo l'uguale e
procederemo a fare la somma algebrica della parte reale con la parte reale e della parte immaginaria
con la parte immaginaria
esempio:
calcolare la differenza fra i due numeri complessi Z1 = 2 + 3i e Z 2 = 4 + 5i
Z1 − Z 2 = 2 + 3i − (4 + 5i ) = −2 − 2i
altro esempio:
calcolare la differenza fra i due numeri complessi
Z1 = −7 − 4i e Z 2 = 3 − 5i
Anche qui cambio di segno poi parte reale con parte reale e parte immaginaria con parte
immaginaria
Z1 − Z 2 = −7 − 4i − (3 − 5i ) = −10 + i
Prodotto fra numeri complessi
Anche per il prodotto ci rifaremo sempre alle regole studiate nei polinomi considerando i come
parte letterale e ricordando che i 2 = −1
esempio: moltiplicare i due numeri complessi Z1 = 2 + 3i e Z 2 = 4 + 5i
Z1 xZ 2 = (2 + 3i )(4 + 5i ) = 8 + 10i + 12i + 15i 2 = 8 + 22i + 15(− 1) = −7 + 22i
altro esempio:
eseguire la moltiplicazione fra i due numeri complessi Z1 = −7 − 4i e Z 2 = 3 − 5i
Z1 xZ 2 = (− 7 − 4i )(3 − 5i ) = −21 + 35i − 12i + 20i 2 = −21 + 23i − 20 = −41 + 23i
Quoziente fra numeri complessi
Per capire come funziona il quoziente basta considerare che i = (− 1)
Quindi un numero complesso al denominatore sarà da trattare come abbiamo trattato la
razionalizzazione e precisamente la razionalizzazione a due termini; in tal modo il quoziente si
ridurrà ad un prodotto perché sparirà la radice al denominatore
vediamo un esempio:
eseguire la divisione fra i due numeri complessi Z1 = 4 + 3i e Z 2 = 3 − 2i
Z1 4 + 3i
=
Z 2 3 − 2i
razionalizzo, cioè moltiplico sopra e sotto per il denominatore con il segno in mezzo cambiato
4 + 3i 3 + 2i 12 + 8i + 9i + 6i 2 12 + 17i + 6(− 1) 6 + 17i 6 17i
x
=
=
=
= +
3 − 2i 3 + 2i
9 − 4(− 1)
13
13 13
9 − 4i 2
altro esempio:
eseguire la divisione fra i due numeri complessi Z1 = 3 − 2i e Z 2 = 2 + i
Z1 3 − 2i 3 − 2i 2 − i 6 − 3i − 4i + 2i 2 6 − 7i + 2(− 1) 4 − 7i 4 7i
=
=
x
=
=
=
= −
2+i
2+i 2−i
4 − (− 1)
5
5 5
Z2
4 − i2