NUMERI IMMAGINARI

NUMERI IMMAGINARI. NUMERI COMPLESSI
Abbiamo già avuto modo di esaminare le successive estensioni che, a partire dall’insieme dei numeri
naturali N, conducono a quello dei numeri reali R, notando come esse siano dettate dall’esigenza di eseguire certe operazioni. L’estensione da N a Z viene condotta rispettando il principio di permanenza delle proprietà formali, secondo cui le proprietà delle operazioni in N devono continuare a sussistere per le
corrispondenti operazioni in Z.
Mediante progressive estensioni, operate rispettando il principio di permanenza delle proprietà formali,
siamo così giunti gradualmente alla costruzione dell’insieme R dei numeri reali. Ma anche in tal modo resta ancora esclusa la possibilità di eseguire certe operazioni, come ad esempio quella dell’estrazione di
radice di indice pari di un numero negativo: abbiamo visto infatti che simboli del tipo
2
 25 ,
b
non hanno alcun significato nell’insieme dei numeri reali, in quanto non esiste nessun numero reale il cui
quadrato sia un numero negativo. Si rende pertanto necessaria una nuova estensione del concetto di numero, il che si fa introducendo i numeri immaginari e i numeri complessi.
Sarà opportuno notare subito che il concetto che presiede all’introduzione di questi nuovi numeri è
quello di conservare anche per essi le proprietà formali delle operazioni fondamentali, allo scopo di poter
adoperare, senza alcuna variazione, i procedimenti del calcolo algebrico ordinario.
 Cominciamo con l’osservare che in R il simbolo  1 non ha alcun significato in quanto non vi è alcun numero reale il cui quadrato sia uguale a 1; però nulla ci impedisce di aggiungere all’insieme R un
nuovo numero che soddisfi a questa condizione. Questo nuovo numero si suol indicare con la lettera i e si
chiama unità immaginaria.
Def.: Si dice unità immaginaria il numero i tale che i2 = 1.
Imponendo la validità della regola dei segni, si avrà pure
( i)2 = i2 = 1
il che equivale a scrivere
 1 =  i.
Dalla definizione segue che esistono due numeri aventi come quadrato 1, e precisamente i e  i.
Naturalmente i e  i non sono numeri reali, in quanto non esiste alcun numero reale che elevato al quadrato dia 1. Abbiamo però raggiunto il nostro scopo, in quanto nell’insieme R  i,  i il simbolo
 1 non è più priva di significato ma ha due valori: i e  i.
Come per i numeri reali, si pone
i 1 = i , i  0 = 0.
Se b è un numero reale il prodotto bi si chiama numero immaginario. Si conserva per questi prodotti la
proprietà commutativa, ponendo
b i = i b;
in particolare si ha
1i=i1=i
0i=i0=0
Si fa ancora la convenzione che se b e b sono due numeri reali, si ha
b i = b i
soltanto se b = b.
Infine volendo conservare le consuete regole di calcolo, si pone
i b + i b = i (b + b)
,
i b  c = c  i b = i (b c)
,
i b - i b = i (b - b)
b
ib:c=i .
c
I numeri b i e – b i si dicono numeri immaginari opposti o contrari.
Convenendo che per le potenze ad esponente intero valgano le consuete definizioni e le proprietà, per
le successive potenze di i si ha:
i1 = i,
i2 = -1,
i3 = - i,
i4 = 1,
i5 = i,
i6 = -1,
i7 = - i,
i8 = 1,
ecc.,
cioè le prime quattro potenze di i sono ordinatamente: i, -1, - i, 1 e le successive si riproducono indefinitamente nello stesso ordine.
 Dalle definizioni date risulta che l’addizione e la sottrazione di numeri immaginari dà come risultato
un numero immaginario.
Esempi:
5i + 7i = 12i;
- 4i + 7i = 3i;
12i – 9i =3i.
Invece il prodotto e il quoziente di due numeri immaginari sono numeri reali.
Esempi:
2i  4i = 8i2 = - 8;
8
8i : 3i = ;
3
ai  bi = abi2 = -ab;
a
ai : bi = .
b
In particolare il quadrato di un numero immaginario è un numero reale negativo.
Esempi:
(7i)2 = 49i2 = -49;
(ai)2 = a2i2 = - a2.
Dall’ultima uguaglianza si ha
 a 2   ai ,
cioè mediante l’uso dei numeri immaginari si può sempre estrarre la radice quadrata di un numero
negativo; essa ha due valori opposti.
Esempi:
 25  (1)  25 
 7  i 7
 1  25   i5   5i ;
.
 Siano ora a e b due numeri reali. Si conviene di dare un significato alle espressione della forma
a + ib,
somma di un numero reale e di un numero immaginario, che si dicono numeri complessi.
Il numero a si dice parte reale del numero complesso e b coefficiente dell’immaginario.
Se b = 0 il numero diventa reale; se a = 0 il numero complesso diventa immaginario.
 Due numeri complessi si dicono uguali quando hanno rispettivamente uguali le parti reali e i coefficienti degli immaginari.
Quindi dicendo che
a + ib = c + id,
si intende che sia
a=c
e
b = d.
Se ciò non si verifica i numeri si dicono disuguali, ma non si può stabilire tra loro la relazione di maggiore e minore.
Siccome abbiamo posto i  0 = 0, così dall’uguaglianza
a + ib = 0 = 0 + i  0
si trae, per la definizione precedente,
a=0
e
b = 0;
cioè un numero complesso è uguale a zero se sono uguali a zero la parte reale e il coefficiente
dell’immaginario.
 Due numeri complessi che hanno la stessa parte reale e i coefficienti dell’immaginario opposti si dicono complessi coniugati.
Per esempio, sono complessi coniugati i numeri delle seguenti coppie:
5 + 3i e 5  3i;
4 + 7i e 4 7i;
a + bi e a  bi.
 La somma di due o più numeri complessi si definisce come il numero complesso che ha per parte
reale la somma delle parti reali degli addendi e per coefficiente della parte immaginaria la somma dei
coefficienti delle parti immaginarie.
Esempi:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i;
(3 + 4i) + (7  5i) = 10  i;
(5 + 2i) + (2 + 4i) + (4  8i) = 7  2i.
In particolare si ha
(a + bi) + (a  bi) = 2a,
cioè: la somma di due numeri complessi coniugati è un numero reale.
 Due numeri complessi si dicono opposti quando sono opposte tanto la parte reale che quella immaginaria.
Per esempio, sono opposti i numeri complessi
a + bi e  a  bi;
3  4i e  3  4i.
Questa definizione è giustificata dal fatto che, come nel campo reale, la somma di due numeri complessi opposti è uguale a zero.
Si ha infatti
(a + bi) + ( a  bi) = (a  a) + (b  b) i = 0 + 0i = 0.
 Per differenza di due numeri complessi si intende la somma del primo e dell’opposto del secondo.
Così:
(a + bi)  (c + di) = (a + bi) + ( c di) = (a  c) + (b  d) i;
(7 + 4i)  (2 + 15i) = 5  11i.
In particolare
(a + bi)  (a  bi) = 2bi ,
cioè: la differenza di due numeri complessi coniugati è un numero immaginario.
 Volendo conservare le ordinarie regole di calcolo per la moltiplicazione di due binomi, si è tratti a
definire il prodotto di due numeri complessi mediante l’uguaglianza
(a + bi) (c + di) = (ac  bd) + (bc + ad) i.
In particolare
(a + bi) (a  bi) = a2 + b2
cioè il prodotto di un numero complesso per il suo coniugato è un numero reale e positivo, ed è uguale
alla somma del quadrato della parte reale col quadrato del coefficiente dell’immaginario.
Se si legge l’ultima relazione scritta in senso inverso si vede che la somma di due quadrati è sempre
decomponibile nel prodotto di due numeri complessi coniugati.
Esempio:
81 + 25 = (9 + 5i) (9  5i);
81 + 25 = (5 + 9i) (5  9i).
 Si chiama reciproco dl numero complesso c + di, diverso da zero, il numero
1
c  di
 2
c  di c  d 2
(
c  di
1
si deduce da
moltiplicando numeratore e denominatore per il coniugato di c + di, cioè per c  di).
2
2
c  di
c d
Questa definizione è giustificata dal fatto che il prodotto di due numeri reciproci è uguale a 1, come nel caso dei numeri
reali.
Infatti si ha
(c  di) 
c  di
c2  d 2

 1.
c2  d 2 c2  d 2
 Per quoziente di due numeri complessi si intende il prodotto del primo per il reciproco del secondo.
Cosi:
a  bi
1
c  di
(ac  bd )  (bc  ad )i ac  bd bc  ad
 (a  bi) 
 (a  bi) 2

 2

i.
2
c  di
c  di
c d
c2  d 2
c  d 2 c2  d 2
 In base alle definizioni date, per il calcolo algebrico dei numeri complessi si seguono gli stessi procedimenti che si seguono operando con i numeri reali, con la sola avvertenza di sostituire 1 al posto di i2.
Così per l’elevamento a potenza si applicano le regole consuete, tenendo presente ciò che abbiamo
già notato:
i2 = 1; i3 = i; i4 = 1, ecc.
Per esempio:
(5 + 2i)2 = 25  4 + 20i = 21 + 20i.
(2  3i)2 = 4  9  12i =  5  12i.
(3 + 2i)3 = 27 + 54i  36  8i =  9 + 46i.
3
2
3
(1  i 3 )  1  3i 3  9i  3 3i  1  3 3i  9  3 3i  8