Definizione di potenza
Si definisce potenza ennesima di A, con n intero maggiore di 1, il prodotto di A per se stesso
eseguito n volte.
An=(AxAxAx ….A) n volte
25= 2 . 2 . 2 . 2 . 2=32
Se la base è 10 , il risultato della potenza è una potenza di 10 con tanti zeri quante sono le unità
dell’esponente:
.
Proprietà delle potenze.
Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e
come esponente la somma degli esponenti
anam=an+m
Il quoziente di due potenze aventi la stessa base è una potenza che ha ancora la stessa base e per
esponente la differenza degli esponenti
an: am=an-m
La potenza di una potenza è una potenza avente per base la stessa base e come esponente il
prodotto degli esponenti. (an)m=anm
Nella definizione di potenza abbiamo posto la condizione che l'esponente sia maggiore di 1
Consideriamo la divisione 10 ³ / 10 ² = 1000 / 100 = 10 .
Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato è
.
Definiamo pertanto
Generalizzando:
.
Consideriamo la divisione 10 ² / 10 ² = 100 / 100 = 1 .
Utilizzando le proprietà delle potenze il risultatoè
Definiamo pertanto 100=1
Generalizzando :
.
Si noti che si deve porre la condizione
.
perché non si può dividere per zero. .
.
Consideriamo la divisione
Utilizzando le proprietà delle potenze il risultato è
Definiamo pertanto
Generalizzando:
.
.
Si noti che si deve porre la condizione
In base a questa definizione:
0,1=10-1
0,00001=10-5
0,000000001=10-9
perché non si può dividere per zero. .
Radici.
L’operazione di estrazione di radice è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.
Consideriamo la potenza 5 ³ = 125 . Definiamo "operazione" di radice a indice 3 (o radice terza) :
(dove il numero sopra il simbolo di radice è l'indice mentre il numero sotto radice si chiama
radicando), che ha come risultato quel numero che elevato all'indice dà il radicando. Infatti 5
elevato alla 3a potenza è 125 .
Se l'indice è 2 , la radice si chiama comunemente radice quadrata e, nello scriverla, si omette
l'indice :
.
La radice ad indice 1 è il numero stesso, per cui :
perché 5 ¹ dà 5 .
La definizione di radice è allora :
La radice secondo un certo indice di un numero dato è quel numero che elevato all'indice dà il
numero dato.
Equazioni
Un'equazione è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche, contenenti una o più incognite.
2 + 3x = 5x
3(x2+y) = x(x+y-1)
x-4=0
Le espressioni che si trovano a sinistra del segno uguale si chiamano primo membro; quelle che si
trovano a destra si chiamano secondo membro.
primo membro
2 + 3x
=
2
3(x +y)
=
x-4
=
secondo membro
5x
x(x+y-1)
0
2+3x=5x
2+3y=5y
2+3z=5z
Il grado di un’equazione è il massimo esponente a cui compare elevata l’incognita.Un'equazione si
dice di primo grado se l'incognita è presente elevata a potenza uno.
x+1=3x-x+1
x2+3=x+5
x+y=3+x
x+y3+1=x2-3
primo grado, una incognita
secondo grado, una incognita
primo grado, due incognite
terzo grado, due incognite
Si chiama soluzione di un'equazione ogni numero che sostituito all'incognita trasforma l'equazione
in una uguaglianza tra numeri. Risolvere un'equazione significa determinare le soluzioni.
perché sostituendo x con 1 si ha
1+2=3 VERO
perché sostituendo x con 2 si ha
2+2=3 FALSO
x=1 è soluzione di
x+2=3
x=2 non è soluzione di
x+2=3
Per risolvere un'equazione si trasforma l'equazione di partenza in una più semplice ma che abbia le
stesse soluzioni. (due equazioni che hanno le stesse soluzioni si dicono equivalenti)
equazione di partenza
(2x+3)2-2x(x+3)=5x-2(1-x)x
equazione semplificata
3x=-9
Per semplificare le equazioni si applicano i seguenti principi:
1° principio. Sommando o sottraendo a entrambi i membri uno stesso numero o una stessa
espressione si ottiene un'equazione equivalente
equazione di partenza
2x+1=-2
5x=6-2x
1° principio
2x+1-1=-2-1
5x+2x=6-2x+2x
equazione semplificata
2x=-3
7x=6
2° principio. Moltiplicando o dividendo entrambi i membri per uno stesso numero, purché diverso
da 0, si ottiene un'equazione equivalente
equazione di partenza
2x=3
1/5x=6
2° principio
2x:2=3:2
1/5x·5=6·5
equazione semplificata
x=3/2
x=30
Equazioni di secondo grado
Un'equazione algebrica nell'incognita x si dice di secondo grado, quando l'incognita x è elevata al
quadrato.
Forma normale o forma canonica.
ax2+bx+c=0
Soluzioni:
La quantità b2-4ac si chiama discriminante, in quanto discrimina tre casi distinti
Discriminante >0 si hanno due soluzioni reali e distinte
Discriminante =0 soluzione x=-b/2a
Discriminante <0 non si ha nessuna soluzione reale
Sistemi di equazioni
L'insieme di due o più equazioni in due o più incognite si chiama sistema di equazioni; se le
equazioni sono di primo grado il sistema si dice lineare.
L'insieme dei valori che verificano simultaneamente tutte le equazioni del sistema si chiama
soluzione del sistema.
Un sistema di equazioni che non ammette soluzioni si dice impossibile, mentre un sistema che
ammette infinite soluzioni si dice indeterminato.
Sistemi di equazioni di 1° grado
Per risolvere un sistema generico di 2 equazioni di 1° grado in 2 incognite si effettuano le
necessarie semplificazioni fino a ridurlo alla cosiddetta forma normale:
con a, a', b, b' detti coefficienti delle variabili e c, c' termini noti.
Tale sistema ammette sempre una, e una sola, soluzione tranne nei due casi seguenti:
c : c'
Sistema impossibile
1) a : a' = b : b'
2) a : a' = b : b' = c : c'
Sistema indeterminato
Metodo di sostituzione
Il metodo consiste nel risolvere (esplicitare) una delle 2 equazioni del sistema rispetto ad
un'incognita; la funzione ottenuta viene sostituita nell'altra equazione ottenendo, a sua volta,
un'equazione di primo grado in una sola incognita.
Punti nel piano cartesiano
In un piano consideriamo due rette perpendicolari orientate che chiamiamo con x e y.
Solitamente, si disegna la retta x orizzontalmente e orientata da sinistra a destra,la retta y
verticalmente e orientata dal basso verso l'alto.
Le due rette si chiamano assi coordinati e il loro punto d'intersezione O origine.
Stabiliamo, infine, una unità di misura, u che ci consente di misurare le lunghezze sui due assi.
In matematica, si prende la stessa unità di misura per l'asse x e per l'asse y.
Nelle applicazioni fisiche, chimiche, economiche, non sempre si segue questa convenzione.
Si dice che nel piano è stato fissato un sistema di riferimento cartesiano,o che il piano è riferito a un
sistema di assi cartesiano xOy, o che si è fissato un piano cartesiano.
A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza
biunivoca trapunti del piano P e le coppie di numeri reali (x,y).
Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x.
Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero x,
l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo
il numero y, l'ordinata. La coppia di numeri (x,y) si chiamano
coordinate del punto P.
Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y),
individuiamo prima il punto H, poi il punto K, infine, tracciando
le due parallele agli assi, si ottiene il punto P.
Segni delle coordinate nei quattro quadranti
1° quadrante
2° quadrante
(+,+)
(-,+)
3° quadrante
(-,-)
4° quadrante
(+,-)
Punti particolari
L'origine O, punto di intersezione degli assi, ha coordinate (0,0).
I punti dell'asse x, come H, hanno ordinata nulla, quindi H(x,0).
I punti dell'asse y, come K, hanno ascissa nulla, quindi K(0.y).
Distanza tra due punti
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo
PHQ, rettangolo in H, si ottiene che
Casi particolari
I due punti individuano un segmento parallelo
all'asse x, come PH. La distanza si calcola più
rapidamente con la formula |x2-x1|.
I due punti individuano un segmento parallelo
all'asse y, come QH. La distanza si calcola più
rapidamente con la formula |y2-y1|.
LA RETTA
ax + by + c = 0 equazione della. retta in forma implicita
coefficiente. angolare m = - a/b
punto di intersezione con l’asse y: -c/b
y = mx + q equazione della retta . in forma esplicita
m: coefficiente. angolare, cioè l'inclinazione della retta rispetto al semiasse positivo delle x.
m > 0: l'angolo tra retta e semiasse è acuto
m < 0: l'angolo tra retta e semiasse è ottuso
m = 0: retta paralela all'asse [y = aq]
q= punto di intersezione con l’asse y
Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare
Due rette sono perpendicolari quando il prodotto dei loro coefficienti angolari è -1: m1 = -1/m2
Rappresentazione grafica di una retta:
- Porre l'equazione in forma esplicita
- Costruire una tabella con almeno due coppie di punti che appartengono alla retta
-riportarli sul piano cartesiano
Intersezioni tra due rette:
- Risolvere il sistema composto dalle equazioni delle due rette.
-La soluzione del sistema fornisce le coordinate del punto di intersezione
Se le rette sono parallele il sistema non ha soluzione.
