Cap. 1. Teoria del consumo - dipartimento di economia e diritto

Cap. 1. Teoria del consumo
Maria Augusta Miceli
Dipartimento di Economia Pubblica
Università di Roma ”La Sapienza”
A.A. 2001-2002
Indice del capitolo1 :
1. Insieme delle scelte: Insieme di bilancio.
2. Metodo di scelta: preferenze e funzione d’utilità.
3. Problema di scelta ottima o equilibrio del consumatore e derivazione della curva di domanda.
4. Variazione della domanda al variare del reddito, delle dotazioni e dei prezzi.
5. Equazione di Slutsky.
6. Reddito in termini di dotazione: equazione di Slutsky con effetto reddito di dotazione.
7. Applicazioni:
(a) Offerta di lavoro.
(b) Scelta intertemporale.
8. Surplus del consumatore
1
Insieme di bilancio
Notazione
• La ”quantità di una merce” e’ rappresentato da xn ∈ R.
• Un ”paniere di merci” e’ una combinazione di quantità di beni diversi, definito dal punto x =
(x1 , ...xn , ....xN ) ∈ RN .
• Il ”prezzo” di un bene è pn .
• Il ”prezzo di un paniere” è il vettore p = (p1 , ...pn , ....pN ) ∈ RN .
• Il ”vettore della dotazioni” ovvero le disponibilita’ di risorse possedute dal consumatore di ciascuna
merce ω = (ω 1 , ..., ω n , ...ω N ) .
Definizione 1 ”Vincolo di bilancio” è
N
X
n=1
pn xn = m oppure
N
X
n=1
pn xn =
N
X
pn ωn
n=1
1 NB. I grafici non appaiono per motivi tecnici, ma si richiede allo studente di saperli SEMPRE costruire. Si utilizzino
quindi i grafici esposti a lezione e quelli contenuti nei libri di testo.
1
Definizione 2 Insieme di bilancio è quell’area contenuta fra gli assi cartesiani e il vincolo di bilancio,
ovvero il luogo dei punti dei ”panieri” x che costano non più del valore del reddito m o della dotazione
P
N
n=1 pn ωn . In termini formali l’insieme di bilancio è quell’insieme B, costituito dai punti ”panieri”
x definiti da un numero di coordinate pari al numero dei beni considerati (nei grafici abbiamo sempre
N = 2).
ª
©
B = x ∈ X N : px ≤ m oppure px ≤ pω
• Proprietà dell’insieme di bilancio, date le ipotesi: (i) m < ∞; (ii) pn > 0, ∀n.
1. Limitato.
- Verso il basso da xi ≥ 0.
- Verso l’alto da m < ∞ e pn > 0, ∀n. Infatti, se ∃pn = 0 ⇒ xn → ∞, e B → ∞.
2. Chiuso. La frontiera, il vincolo di bilancio, appartiene all’insieme, ovvero i panieri appartenenti
al vincolo di bilancio sono disponibili.
3. Convesso. Ogni combinazione lineare di panieri appartenenti all’insieme, appartiene all’insieme.
4. Non-vuoto. Se M > 0 e pn < ∞ per alemno un n, il consumatore puo’ acquistare una quantita’
positiva di almeno un bene.
• Studiare spostamenti per dm, dω, dpn .
2
Metodo di scelta: preferenze e funzione di utilità
Definizione 3 Dati due panieri di consumo (x1 , x2 ) e (y1 , y2 ) , il consumatore sa esprimere una delle
seguenti preferenze:
• preferenza stretta (x1 , x2 ) Â (y1 , y2 ) ; ciò implica che sia x1 Â y1 e x2 Â y2 ;
• indifferenza (x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) ; ciò implica che sia x1 ∼ y1 e x2 ∼ y2 ; oppure
• preferenza debole (x1 , x2 ) º (y1 , y2 ) ; ciò implica che sia x1 Â y1 e x2 ∼ y2 o viceversa (fare
riferimento ai grafici fatti a lezione).
Le preferenze costituiscono un ordinamento, se soddisfano i seguenti assiomi
A1 Completezza. Il consumatore sa confrontare qualunque coppia possibile di panieri e sa esprimere una
delle preferenze sopra elencate.
A2 Riflessività. Ogni paniere è desiderabile almeno quanto se stesso: (x1 , x2 ) º (x1 , x2 ) .
A3 Transitività. Se (x1 , x2 ) º (y1 , y2 ) e (y1 , y2 ) º (z1 , z2 ) , allora deve essere (x1 , x2 ) º (z1 , z2 ) . Questo
assioma è oggetto di discussione, si veda Varian e/o Rodano-Saltari..
A4 Continuità.
A5 Monotonicità forte.
Teorema 1 Se le preferenze soddisfano A1 − A5,
allora esiste una funzione di utilita’ continua u(x) : RN
+ → R.
Definizione 4 ”Insieme dei punti sopra il contorno (sopra la curva d’indifferenza)” (Upper contour set)
A6 Convessità. L’insieme dei punti preferiti ai punti del contorno è convesso: comunque presi due punti
appartenenti all’insieme contorno ovvero indifferenti, qualunque loro combinazione lineare, dà luogo
a punti debolmente preferiti.
A7 Stretta convessità. L’insieme dei punti preferiti ai punti del contorno è strettamente convesso.
2
Teorema 2 Se le preferenze soddisfano A1 − A5 e A6,
allora esiste una funzione di utilita’ continua u(x) : RN
+ → R ed essa e’ quasi concava.
Teorema 3 Se le preferenze soddisfano A1 − A5 e A7,
allora esiste una funzione di utilita’ continua u(x) : RN
+ → R ed essa e’ strettamente quasi concava.
Definizione 5 ”Curva d’indifferenza” o, formalmente, insieme contorno, è l’insieme dei panieri che
danno luogo allo stesso valore della funzione obiettivo u(x).
ª
©
I = x ∈ RN : u(x) = u
Definizione 6 Utilità marginale
U Mi =
∂u (x1 , x2 )
∂xi
è l’incremento di utilità dovuto ad un incremento unitario del bene x1 nel paniere.
Normalmente si ipotizza che l’utilità marginale sia decrescente al crescere della quantità del bene
contenuta nel paniere2 .
Definizione 7 ”Saggio marginale di trasformazione” (SMS) esprime, al variare di una quantità x1 di
quanto deve variare la quantità x2 affinche’ il consumatore mantenga la stessa soddisfazione, ovvero lo
stesso livello di utilità
∂u(x)
dx2
∂x1
= − ∂u(x)
SM S ≡
dx1
∂x2
ovvero
SMS ≡ −
U M1
U M2
Metodo di calcolo. Data u(x1 , x2 ) = u, si calcola il differenziale totale della funzione per due variabili
e se ne ricava la pendenza
∂u (x)
∂u (x)
dx1 +
dx2
∂x1
∂x2
U M1 dx1 + U M2 dx2
= 0
= 0
da cui
∂u(x)
dx2
∂x1
= − ∂u(x)
dx1
∂x2
ovvero
UM1
dx2
=−
dx1
UM2
Per convenzione si pone sempre a numeratore la variazione nelle ordinate (dx2 ), al variare della variazione della quantità espressa sulle ascisse (dx1 ) .
Corollario 1 Essendo la funzione di utilità soltanto ordinale, l’ordinamento delle preferenze è preservato
da ogni trasformazione continua e monotòna.
2 Formalmente
∂ 2 u (x1 , x2 )
∂ (U Mi )
≤0
=
∂xi
∂x2i
3
Corollario 2 Il SMS è invariante ad ogni trasformazione monotòna.
Sia data T [u(x)] , si ha
∂T [u(x)] ∂u (x)
∂T [u(x)] ∂u (x)
dx1 +
dx2 = 0
∂u
∂x1
∂u
∂x2
da cui
∂u(x) ∂T [u(x)]
∂u
∂T [u(x)]
∂x2
∂u
dx2
∂x1
= − ∂u(x)
dx1
dove l’ultimo termine si elide.
2.1
Esempi di funzioni di utilità e relativi SMS
β
1. Cobb-Douglas: u(x1 , x2 ) = xα
1 x2 .
Costruiamo la trasformata logaritmica, piu’ semplice da utilizzare
ln u(x1 , x2 ) = α ln x1 + β ln x2 .
Differenziale totale:
β
dx2
α x2
α
dx1 + dx2 = 0 ⇒
=−
x1
x2
dx1
β x1
variabile al variare del punto considerato.
2. Perfetti sostituti: u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 .
Differenziale totale:
adx1 + bdx2 = 0 ⇒
dx2
a
=−
dx1
b
costante in tutta la curva d’indifferenza.
3. Perfetti complementi: u(x1 , x2 ) = min {ax1 , bx2 }
La funzione è non differenziabile. Procediamo quindi costruendo il grafico della curva d’indifferenza.
½
x1 = u/a
Se ax1 < bx2 ⇒ ax1 = u ⇒
x2 ∈ (u/b, ∞)
½
x1 ∈ (u/a, ∞)
Se bx2 < ax1 ⇒ bx2 = u ⇒
x2 = u/b
Il grafico e’ una curva d’indifferenza ad angolo’ dove l’angolo e’ nel punto [u/a, u/b] .
4. x2 male : u(x1 , x2 ) = ax1 − bx2
a
dx2
=
dx1
b
5. x2 neutrale: u(x1 , x2 ) = ax1 . Le rette d’indifferenza sono rette verticali.
6. Quasi-lineare: u(x1 , x2 ) = v(x1 ) + x2 , dove v0 (.) ≥ 0, v00 (.) ≤ 0
Differenziale totale:
v0 (x1 )dx1 + dx2 = 0 ⇒
dx2
= −v 0 (x1 )
dx1
7. Funzioni con sazietà: u(x1 , x2 ) = paraboloide. Le curve d’indifferenza sono curve concentriche.
4
3
Scelta ottima e derivazione della funzione di domanda
Il problema del consumatore e’
max U(x1 , x2 )
t.c. p1 x1 + p2 x2 = m
Evitando di risolvere il problema di massimo vincolato, utilizziamo un metodo di soluzione piu’ intuitivo.
Dobbiamo risolvere il problema nelle due incognite
x1 (p1 , p2 , m)
x2 (p1 , p2 , m)
Abbiamo un sistema di due equazioni
SMS = −
p1
p2
p1 x1 + p2 x2 = m
La prima equazione rappresenta il punto di tangenza fra la curva d’indifferenza e il vincolo di bilancio.
(Ma di queste equazioni ne abbiamo infinite al variare del reddito m.). Vogliamo quindi che la condizione
di tangenza verifichi il vincolo di bilancio al livello di reddito m dato. Il sistema e’ dunque in grado di
risolvere le due incognite.
Procedendo per sostituzione si ottengono le funzioni
x1 (p1 , p2 , m)
x2 (p1 , p2 , m)
Esempio: F. di utilita’ Cobb-Douglas.
Sia il problema del consumatore
1−α
max U (x1 , x2 ) = xα
1 x2
t.c. p1 x1 + p2 x2 = m
Siano i parametri (o dati) del problema: α = 1/4, p1 = 1, p2 = 2, m = 8 e
SMS ≡ −
α x2
1 − α x1
Il sistema e’
−
α x2
p1
=−
1 − α x1
p2
p1 x1 + p2 x2 = m
Dalla prima ricavo
x2 =
p1 1 − α
x1
p2 α
e la inserisco nel vincolo di bilancio, ottenendo
p1 x1 + p2
·
¸
p1 1 − α
x1 = m
p2 α
5
Da cui
£
¤
p1 x1 £1 + 1−α
α ¤ =m
=m
p1 x1 α+1−α
α
da cui
x∗1 = α
m
p1
sostituendo questo in x2 sopra
x∗2 = (1 − α)
m
p2
Osservazione: ogni funzione di domanda Cobb-Douglas dipende soltanto dal prezzo del bene in questione.
Per gli esempi relativi alle funzioni di domanda derivabili da altre funzioni di utilita’ si vedano gli
appunti in classe e il testo.
4
Esempi di funzioni di utilità e relative funzioni di domanda
β
1. Cobb-Douglas: u(x1 , x2 ) = xα
1 x2 .
Costruiamo la trasformata logaritmica, piu’ semplice da utilizzare
ln u(x1 , x2 ) = α ln x1 + β ln x2 .
Sistema
½
p1
α x2
− 1−α
x1 = − p2
p1 x1 + p2 x2 = m
Funzioni di domanda
½
x∗2
x∗1 = α pm1
= (1 − α) pm2
2. Perfetti sostituti: u(x1 , x2 ) = ax1 + bx2 .
Sistema
½
− ab = − pp12
p1 x1 + p2 x2 = m
Funzioni di domanda

 ...
x∗1 =
...

...
se a/b < p1 /p2
se a/b = p1 /p2
se a/b > p1 /p2

 ...
...
x∗2 =

...
se a/b < p1 /p2
se a/b = p1 /p2
se a/b > p1 /p2
Calcolatelo voi o recuperatelo dagli appunti di lezione o dagli esercizi dati!
6
3. Perfetti complementi: u(x1 , x2 ) = min {ax1 , bx2 }
Es. a = b = 1. Supponiamo di avere x1 = 1 scarpe destre e x2 = 2 scarpe sinistre. Dunque la
nostra utilità dipenderà solo dal paio completo di scarpe. Dunque se x1 < x2 , in equilibrio il ”paio”
di scarpe x dovrà essere pari al minore dei due xi . Ovvero x = x1 < x2 . Prendiamo la quantità
che abbiamo minima, poiché rappresenta il massimo ”paio di scarpe possibile” e la sostituiamo nel
vicolo di bilancio
p1 x1 + p2 x1 = m
p1 x + p2 x = m
I due vincoli di bilancio sono equivalenti perché in realtà noi vogliamo sapere quanto ci costa ”il
paio” di scarpe, x. Dunque, la domanda per il ”paio” di scarpe sarà
x=
m
p1 + p2
Es. Coefficienti a e b diversi da 1. La combinazione sia a = 2 cucchiaini di caffè e b = 1 tazza di
caffè. Si ripete il ragionamento. Supponiamo sia ax1 < bx2 . Allora x1 < ab x2 e dunque in equilibrio
deve essere x1 = ab x2 . sostituisco nel vincolo di bilancio
µ
¶
b
p1
x2 + p2 x2 = m
a
µ ¶
b
x + p2 x = m
p1
a
e dunque la combinazione ”caffè con zucchero” costa
x=
m
p1 ab + p2
Es. Cosa succede se bx2 < ax1 ?
4. x2 male : u(x1 , x2 ) = ax1 − bx2
Sistema
½
= − pp12
p1 x1 + p2 x2 = m
a
b
Funzioni di domanda

 ...
...
x∗1 =

...
se a/b < p1 /p2
se a/b = p1 /p2
se a/b > p1 /p2

 ...
x∗2 =
...

...
se a/b < p1 /p2
se a/b = p1 /p2
se a/b > p1 /p2
5. x2 neutrale: u(x1 , x2 ) = ax1 . Le rette d’indifferenza sono rette verticali.
la funzione di domanda è:
x1 =
tutto il reddito è speso nel solo bene interessante.
7
m
p1
6. Quasi-lineare: Es. u(x1 , x2 ) =
√
x1 + x2 .
1
SM S = − √
2 x1
Sistema
½
− 2√1x1 = − pp12
p1 x1 + p2 x2 = m
Funzioni di domanda



³ ´2
x∗1 = 14 pp21
µ
³ ´2 ¶

 x∗2 = m − 14 pp21
/p2
7. Funzioni con sazietà: u(x1 , x2 ) = paraboloide. Le curve d’indifferenza sono curve concentriche.
La domanda è come per la Cobb-Douglas per i panieri inferiori alla sazietà. Come immaginate che
sia risolto il problema per panieri che diano utilità maggiore della sazietà?
5
Variazione della domanda al variare del reddito.
La variazione della domanda al variare del reddito si studia in due grafici: il primo disegnato nel piano
(x1 , x2 ), l’altro nel piano (xi , m) per i = 1, 2.
Nel piano (x1 , x2 ) , congiungendo i punti di scelta ottima al variare di m si ottiene il ”sentiero di
espansione del reddito” o ”curva reddito-consumo”.
Nel piano (xi , m) riportando gli stessi punti otteniamo una curva che si chiama ”curva di Engel”.
Si vedano gli esempi sugli appunti di classe e su Varian cap.6.
Cosa e’ importante sapere?
Le funzioni di utilita’ e il tipo di beni sottostanti danno luogo a curve di Engel che possono appartenere
a tre distinti tipi:
1. Lineari. Ovvero al crescere del reddito, il consumo del bene mantiene la stessa proporzione (qualsiasi
essa sia).
• Quindi la curva di Engel e’ una retta con pendenza costante.
• I beni che danno luogo a questo tipo di comportamento sono detti beni normali.
• Le preferenze che danno luogo a questo tipo di comportamento sono dette omotetiche.
2. Il consumo del bene aumenta meno che proporzionalmente al crescere del reddito.
• Quindi la curva di Engel e’ una curva con pendenza crescente se abbiamo xi sulle ascisse e m
sulle ordinate.
• I beni che danno luogo a questo tipo di comportamento sono detti beni necessari o di
sussistenza.
• Le preferenze che danno luogo a questo tipo di comportamento sono dette non omotetiche.
3. Il consumo del bene aumenta più che proporzionalmente al crescere del reddito.
• Quindi la curva di Engel e’ una curva con pendenza decrescente se abbiamo xi sulle ascisse e
m sulle ordinate.
• I beni che danno luogo a questo tipo di comportamento sono detti beni di lusso.
• Le preferenze che danno luogo a questo tipo di comportamento sono dette non omotetiche.
8
6
Variazione della domanda al variare dei prezzi.
La variazione della domanda al variare dei prezzi si studia in due grafici: il primo disegnato nel piano
(x1 , x2 ), l’altro nel piano (xi , pi ) per i = 1, 2.
Nel piano (x1 , x2 ) , congiungendo i punti di scelta ottima al variare di uno dei due prezzi si ottiene la
”curva prezzo-consumo”.
Nel piano (xi , pi ) riportando gli stessi punti otteniamo una curva che si chiama ”curva di domanda”.
Si vedano gli esempi sugli appunti di classe e su Varian cap.6.
Cosa puo’ succedere?
1. Se, al crescere del prezzo di un bene, la sua domanda diminuisce, e viceversa, si tratta di beni
normali.
2. Se, al contrario, al diminuire del prezzo di un bene la sua domanda diminuisce, (perche’ il consumo
di quel bene viene sostituito dal consumo di un altro bene preferito), il bene viene detto bene
inferiore o bene di Giffen.
7
Equazione di Slutsky
Quando varia il prezzo di un bene pi , la domanda di quel bene xi varia per due ragioni:
1. perché è variato il saggio al quale si può scambiare il bene,
2. perché è variato il potere d’acquisto complessivo del reddito posseduto.
Dunque l’effetto totale si puo’ scomporre nella somma algebrica di due effetti:
1. L’effetto sostituzione, dovuto al primo motivo.
In questo si fanno variare i prezzi relativi, ma si aggiusta m verso un livello di reddito ”fittizio”,
che chiamiamo m0 , cosi’ da mantenere costante il potere d’acquisto. Riassumendo
• prezzo relativo varia,
• potere d’acquisto costante.
Graficamente questo e’ espresso dalla rotazione
del vincolo
di bilancio. Il nuovo vincolo di bilancio
´
³
0 0
0 0
deve rispettare le due nuove intercette m /p1 ; m /p2
2. L’effetto reddito, dovuto al secondo motivo.
In questo si fa variare il potere d’acquisto tenendo i prezzi costanti. Non e’ rilevante se si considera
la coppia di prezzi iniziali o la coppia di prezzi finali. Varian tratta i prezzi finali. Quindi l’effetto
reddito si studia nel variare del reddito da m0 fittizio, fino al livello iniziale, m. Riassumendo
• prezzo relativo costante,
• potere d’acquisto variabile, pari a m − m0 .
Graficamente questo e’ espresso dallo spostamento
parallelo
del vincolo di bilancio.
Il vincolo
di
´
³
´
³
0
0 0
0 0
0
bilancio deve spostarsi dalla posizione m /p1 ; m /p2 verso la posizione m/p1 ; m/p2 , in cui
appunto i prezzi sono fermi al livello finale e il reddito varia.
9
7.1
Metodo di calcolo
Supponiamo di avere gia’ calcolato le funzioni di domanda, che chiamiamo nel caso generale
x1 (p1 , p2 , m)
x2 (p1 , p2 , m)
La scelta iniziale, che chiamiamo PUNTO A inserira’ nelle funzioni i seguenti parametri
A=
½
x1 (p1 , p2 , m)
x2 (p1 , p2 , m)
0
Poi facciamo variare il solo prezzo p1 in p1 . Otteniamo la scelta finale che chiamiamo PUNTO C:
C=
½
x1 (p01 , p02 , m)
x2 (p01 , p02 , m)
Per scomporre l’effetto sostituzione dall’effetto reddito, dobbiamo calcolare l’allocazione fittizia PUNTO
B, in cui il reddito m0 e’ tale da mantenere costante il potere d’acquisto della scelta A, ma ai nuovi prezzi.
Questo si traduce nel costruire (e disegnare) un nuovo vincolo di bilancio caratterizzato dalla capacita’
di comprare il paniere A. Questo vuol dire che il vincolo di bilancio che determina il punto B avra’ come
termine di destra il valore m0 , definito come
m0 = p01 x1 (p1 , p2 , m) + p02 x2 (p1 , p2 , m)
ovvero
0 A
m0 ≡ p01 xA
1 + p2 x2
ne risulta che il vincolo di bilancio ”fittizio” avra’ equazione
0 A
p1 x1 + p2 x2 = p01 xA
1 + p2 x2
(1)
Il sistema che definisce la scelta ottima, ovvero la curva d’indifferenza tangente al vincolo di bilancio (2)
è
SMS = −
p01
p02
p1 x1 + p2 x2 = m0
la cui soluzione e’ rappresentata dall’allocazione PUNTO B
B=
7.1.1
½
x1 (p01 , p02 , m0 )
x2 (p01 , p02 , m0 )
Esempio. Cobb Douglas
Quando avete le funzioni di domanda e’ sufficiente sostituire i giusti parametri, ovvero i prezzi iniziali o
i prezzi finali, e la giusta definizione di reddito, per determinare i diversi punti. Dunque, avendo
x1 = α pm1
x2 = (1 − α) pm2
10
Otterremo
A=
½
x1 (p1 , p2 , m) = α pm1
x2 (p1 , p2 , m) = (1 − α) pm2
C=
(
x1 (p01 , p02 , m) = α pm0
1
x2 (p01 , p02 , m) = (1 − α) pm0
B=
8
(
2
0
x1 (p01 , p02 , m0 ) = α m
p0
1
0
x2 (p01 , p02 , m0 ) = (1 − α) m
p0
2
Equazione di Slutsky
L’effetto sostituzione e’ dunque dato dalla differenza fra il punto B ed il punto A per ciascuna coordinata. Ovvero
def
∆xs = [B − A]
quindi
def
∆xs1 = x1 (p01 , p02 , m0 ) − x1 (p1 , p2 , m)
e
def
∆xs2 = x2 (p01 , p02 , m0 ) − x2 (p1 , p2 , m)
L’effetto reddito è invece dato dalla differenza fra il punto C ed il punto B per ciascuna coordinata.
Ovvero
def
∆xn = [C − B]
quindi
def
∆xn1 = x1 (p01 , p02 , m) − x1 (p01 , p02 , m0 )
e
def
∆xn2 = x2 (p01 , p02 , m) − x2 (p01 , p02 , m0 )
La variazione complessiva della domanda (o equazione di Slutsky) e’ data quindi dalla somma dell’effetto
sostituzione e dell’effetto reddito.
∆xTi OT = ∆xsi + ∆xni
8.1
Segno della variazione totale
Il segno della variazione totale dipende, ovviamente, dalla somma algebrica dei segni degli effetti di
sostituzione e reddito.
• Il segno dell’effetto di sostituzione è sempre inverso al segno della variazione del prezzo relativo.
∆xi
≤0
∆ (pi /pj )
Ovvero, se ad un certo prezzo p1 era stata scelta la quantità x1 , al crescere del prezzo non vi è
ragione di sceglierne una quantità maggiore. Inoltre, seppure il prezzo del bene in questione non è
variato, ma il prezzo dell’altro bene è diminuito, il prezzo relativo pi /pj è comunque aumentato.
11
• Il segno dell’effetto reddito invece puo’ essere sia concorde che inverso rispetto al segno della
variazione di prezzo. Supponendo ∆ (pi /pj ) > 0 :
1. per i beni normali ⇒ segno negativo,
ovvero al crescere del prezzo la domanda diminuisce,
2. per i beni inferiori ⇒ segno positivo,
3. per i beni inferiori di Giffen ⇒ segno positivo ”grande”, ovvero tale da piu’ che compensare
l’effetto di sostutuzione negativo.
8.1.1
Esempio numerico
∆xTi OT
Beni normali (−8)
Beni inferiori (−3)
Beni Giffen (+2)
8.2
= ∆xsi
= (−5)
= (−5)
= (−5)
+∆xni
(−3)
(+2)
(+7)
Un’altra definizione di ”effetto reddito”
Attenzione! Alle pp. 136-138, Varian definisce un ”effetto reddito” opposto, ovvero
def
n
∆xm
i ≡ [B − C] = −∆xi
Utilizzando questa definizione l’effetto reddito nell’equazione di Slutsky presenta segno negativo, ovvero
∆xTi OT = ∆xsi − ∆xm
i
La trattazione in tassi di variazione (paragrafo 8.5) fatela soltanto fino alla formula (8.3)!
9
Scelta del consumatore avente ”dotazione”
La dotazione dell’agente non e’ piu’ espressa in termini monetari, dal valore m, ma e’ esplicitamente
funzione della quantita’ di beni posseduti, moltiplicati per i prezzi dati.
DEF. Dotazione. E’ il paniere di beni posseduto dall’agente. Si tratta del vettore ω = (ω 1 , ω2 ) che
esprime la quantita’ del bene 1 e la quantita’ del bene 2, possedute. Il paniere e’ un punto nel grafico
a due dimensioni, che ha sull’asse delle ascisse la quantita’ del bene 1, x1 , e sull’asse delle ordinate la
quantita’ del bene 2, x2 .
Il vincolo di bilancio che ne deriva e’
p1 x1 + p2 x2 = p1 ω 1 + p2 ω 2
Per disegnarlo, possiamo continuare a chiamare il termine destro dell’equazione come m e procedere
come al solito, ricavando x2 in funzione di x1 . Come risultato abbiamo che il vincolo di bilancio e’ una
retta passante per il punto ω avente pendenza pari a (−p1 /p2 ) .
DEF. Domanda lorda = xi
DEF. Domanda netta = (xi − ω i ) > 0,
DEF. Offerta netta = (xi − ω i ) < 0.
9.1
Variazioni di ω = (ω 1 , ω 2 ) e prezzi costanti
Per l’aumento della dotazione di almeno un bene ω 1 e/o ω 2 il vincolo di bilancio si sposta verso l’esterno
(E’ ovvio: se possiedo una quantita’ maggiore di almeno un bene, a prezzi costanti, sono piu’ ”ricco”.) e
viceversa.
12
9.2
Variazione dei prezzi e dotazione costante: eq. di Slutsky con reddito di
dotazione
Qual’e’ la novita’ ? Al variare dei prezzi, varia il ”valore” della mia dotazione.
Il problema di scelta del consumatore
max U(x1 , x2 )
t.c. p1 x1 + p2 x2 = p1 ω1 + p2 ω 2
si risolve, al solito, risolvendo il sistema di due equazioni nelle due incognite x1 e x2
½
SM S = − pp12
p1 x1 + p2 x2 = p1 ω 1 + p2 ω 2
Es. Se la funzione di utilita’ e’ Cobb-Douglas le funzioni di domanda restano funzioni del ”reddito”,
inteso come termine di destra del vincolo di bilancio. Facendo i passaggi (si veda il metodo usato nel
primo paragrafo) si ottiene
x∗1 = α
(p1 ω 1 + p2 ω 2 )
p1
x∗2 = (1 − α)
(p1 ω1 + p2 ω 2 )
p2
Pertanto se, per comodita’ di analisi e di calcolo, continuo a chiamare m il termine di destra del vincolo
di bilancio, le funzioni di domanda restano le stesse.
Partiamo da una scelta ottima iniziale definita dal punto A, che rappresenta la scelta ottima rispetto
al vincolo di bilancio che passa per la dotazione ω ai prezzi iniziali.
Al variare di almeno un prezzo, il vincolo di bilancio varia la pendenza verso la pendenza (−p01 /p02 ) .
Si ottiene un vincolo di bilancio passante per la dotazione ω ai prezzi finali. La scelta finale ottima D
rispetto al vincolo di bilancio calcolato ai nuovi prezzi.
Nel passare dal punto A al punto D possono essere isolati i seguenti tre effetti (per il primo riporto
quanto gia’ detto precedentemente:
1. L’effetto sostituzione, dovuto al variare del saggio di scambio fra i beni.
In questo si fanno variare i prezzi relativi, ma si aggiusta m verso un livello di reddito ”fittizio”,
che chiamiamo m0 , cosi’ da mantenere costante il potere d’acquisto. Riassumendo
• prezzo relativo varia,
• potere d’acquisto costante.
Graficamente questo e’ espresso dalla rotazione del vincolo di bilancio, facendo
nella´scelta
³ perno
0 0
iniziale A. Il nuovo vincolo di bilancio deve rispettare le due nuove intercette m /p1 ; m0 /p02 dove
0 A
m0 = p01 xA
1 + p2 x2
2. L’effetto reddito ordinario, dovuto alla variazione del potere d’acquisto del reddito espresso
dalla dotazione iniziale, m. Se varia soltanto un prezzo, il vincolo di bilancio ruotera’ facendo
perno nell’intercetta m/pi dove i e’ il bene il cui prezzo non e’ variato. Piu’ in generale, graficamente,
questo ´effetto e’ espresso dallo spostamento parallelo del vincolo di³ bilancio dalla
´ posizione
³
0
0 0
0 0
0
m /p1 ; m /p2 (in cui la scelta ottima e’ il punto B) verso la posizione m/p1 ; m/p2 (ovvero il
punto C), in cui appunto i prezzi sono fermi al livello finale e il reddito varia.
Riassumendo
• prezzo relativo costante,
• potere d’acquisto della dotazione iniziale, varia, perche’ variano i prezzi.
13
3. L’effetto reddito di dotazione, esprime la variazione del potere d’acquisto della dotazione. Il
nuovo potere d’acquisto della dotazione e’ costituito dal valore della dotazione ai nuovi prezzi,
ovvero da
def
m00 = p01 ω 1 + p02 ω 2
Il vincolo di bilancio che definisce la scelta ottima relativa (Punto D) passa per la dotazione ω ai
nuovi prezzi (p01 , p02 ) .
9.3
Metodo di calcolo
Supponiamo di avere gia’ calcolato le funzioni di domanda. Affianco al caso generale l’esempio delle
funzioni di domanda Cobb Douglas per chiarezza espositiva e per mostrare che, avendo le funzioni di
domanda, e’ sufficiente sostituire i giusti parametri, ovvero i prezzi iniziali o i prezzi finali, e la giusta
definizione di reddito, m, m0 o m00 , per determinare i diversi punti.
x1 (p1 , p2 , m) = α
m
p1
x2 (p1 , p2 , m) = (1 − α)
m
p2
La scelta iniziale, che chiamiamo PUNTO A inserira’ nelle funzioni i seguenti parametri
A=
½
x1 (p1 , p2 , m) = α pm1
x2 (p1 , p2 , m) = (1 − α) pm2
0
Poi facciamo variare i prezzi: p1 in p1 e p2 in p02 . Otteniamo la scelta finale che chiamiamo PUNTO
D che passera’ per la dotazione ai nuovi prezzi. La dotazione ai nuovi prezzi e’ espressa da
def
m00 = p01 ω 1 + p02 ω2
da cui
D=
(
00
x1 (p01 , p02 , m00 ) = α m
p0
1
00
x2 (p01 , p02 , m00 ) = (1 − α) m
p0
2
Per scomporre l’effetto sostituzione dall’effetto reddito, dobbiamo calcolare l’allocazione fittizia PUNTO
B, in cui il reddito m0 e’ tale da mantenere costante il potere d’acquisto della scelta A, ma ai nuovi prezzi.
Questo si traduce nel costruire (e disegnare) un nuovo vincolo di bilancio caratterizzato dalla capacita’
di comprare il paniere A. Questo vuol dire che il vincolo di bilancio che determina il punto B avra’ come
termine di destra il valore m0 , definito come
m0 = p01 x1 (p1 , p2 , m) + p02 x2 (p1 , p2 , m)
ovvero
0 A
m0 ≡ p01 xA
1 + p2 x2
ne risulta che il vincolo di bilancio ”fittizio” avra’ equazione
0 A
p1 x1 + p2 x2 = p01 xA
1 + p2 x2
(2)
Il sistema che definisce la scelta ottima, ovvero la curva d’indifferenza tangente al vincolo di bilancio (2)
è
(
p0
SM S = − p10
2
p1 x1 + p2 x2 = m0
14
la cui soluzione e’ rappresentata dall’allocazione PUNTO B
(
0
x1 (p01 , p02 , m0 ) = α m
p01
B=
0
x2 (p01 , p02 , m0 ) = (1 − α) m
p0
2
L’effetto reddito ordinario e’ espresso dal passaggio da A a C. Il punto C e’ calcolato analogamente al
caso Slutsky senza dotazione. Pertanto e’
(
x1 (p01 , p02 , m) = α pm0
1
C=
x2 (p01 , p02 , m) = (1 − α) pm0
2
10
Equazione di Slutsky con effetto reddito di dotazione
L’effetto sostituzione e’ dunque dato dalla differenza fra il punto B ed il punto A per ciascuna coordinata. Ovvero
def
∆xs = [B − A]
quindi
def
∆xs1 = x1 (p01 , p02 , m0 ) − x1 (p1 , p2 , m)
e
def
∆xs2 = x2 (p01 , p02 , m0 ) − x2 (p1 , p2 , m)
L’effetto reddito ordinario è invece dato dalla differenza fra il punto C ed il punto B per ciascuna
coordinata. Ovvero
def
∆xn = [C − B]
quindi
def
∆xn1 = x1 (p01 , p02 , m) − x1 (p01 , p02 , m0 )
e
def
∆xn2 = x2 (p01 , p02 , m) − x2 (p01 , p02 , m0 )
Bisogna aggiungere l’effetto reddito di dotazione che e’ dato dalla differenza fra il punto D ed il punto
C.
L’effetto reddito di dotazione è invece dato dalla differenza fra il punto D ed il punto C per
ciascuna coordinata. Ovvero
def
∆xdot = [D − C]
quindi
def
∆xdot
= x1 (p01 , p02 , m00 ) − x1 (p01 , p02 , m)
1
e
def
= x2 (p01 , p02 , m00 ) − x2 (p01 , p02 , m)
∆xdot
2
La variazione complessiva della domanda (o equazione di Slutsky) e’ data quindi dalla somma dell’effetto
sostituzione, dell’effetto di reddito ordinario e dell’effetto reddito di dotazione
∆xTi OT = ∆xsi + ∆xni + ∆xdot
i
L’effetto reddito complessivo e’ dato dalla somma algebrica degli ultimi due termini ed ha segno
variabile a seconda
• della natura del bene,
• del fatto che l’agente sia acquirente o venditore netto del bene.
15
11
Applicazioni: 1. Offerta di lavoro
Il reddito del consumatore proviene da
reddito da dotazione: pC
reddito da lavoro: wL, dove L rappresenta il numero di ore lavorate.
Il vincolo di bilancio e’ dunque
pC = pC + wL
ovvero il consumatore puo’ spendere tutto cio’ che ottiene come reddito.
Qual’e’ il problema di questa formulazione? Il numero di ore lavorate e’ in realta’ uno degli oggetti
della scelta, ma tuttavia, il lavoro e’ inteso come un male, ovvero un oggetto che riduce l’utilita’. Il
vincolo di bilancio si puo’ riscrivere come
pC − wL = pC
dove emerge dal membro di sinistra che i due oggetti di scelta sono il consumo (bene) e il lavoro (male).
Vediamo con quali passaggi riduciamo questo problema ad un problema di scelta fra due oggetti entrambi
”beni”. Si consideri il fatto che esiste una dotazione massima di ore al giorno, per es. 24 ore. Sia questa
dotazione L. Aggiungiamo da ambo i membri il termine wL
´
³
pC + w L − L = pC + wL
A questo punto poniamo
´
³
• L − L = R ovvero le ore non lavorate sono definibili come consumo di ore di ”riposo” (o relax).
• la dotazione di ore giornaliere e’ la stessa sia che la chiamiamo come dotazione di ore lavorate o
come dotazione di ore di riposo: L ≡ R.
Pertanto il vincolo di bilancio si puo’ riscrivere come
pC + wR = pC + wR
dove il consumatore ha una dotazione che consiste in:
• quantita’ dell’unico bene di consumo: C
• ore giornaliere da dedicare al lavoro o al relax: R.
Il problema e’ diventato quello standard della scelta fra due beni, ovvero
max U (C, R)
t.c. pC + wR = pC + wR
I due prezzi sono: p e’ il prezzo del bene di consumo, w e’ il prezzo del riposo (e del suo bene complementare, lavoro). La pendenza della retta di bilancio e’ espressa dal prezzo relativo −w/p, che rappresenta
il salario reale (ovvero il potere d’acquisto del salario). La soluzione (C ∗ , R∗ ) viene determinata dal solito
sistema
½
SM S = −w/p
pC + wR = pC + wR
Le ore lavorate vengono determinate come il residuo
L∗ = R − R∗
Le definizioni di reddito sono
m = pC + wR
m0 = p0 C A + w0 RA
m00 = p0 C + w0 R
Attenzione! Il riposo si misura sull’asse delle ascisse ed e’ dunque, per il metodo d’analisi tradizionale,
il bene 1. Il consumo si misura invece sull’asse delle ordinate, quindi e’ il bene 2. Pertanto il rapporto fra
i prezzi (p1 /p2 ) diventa (w/p) . Fare attenzione a questo fatto anche nel disegnare il vincolo di bilancio:
bisogna esplicitare C in funzione di R.
16
11.1
Lavoro straordinario
Al crescere del salario reale, il numero di ore lavoro offerte, dapprima aumenta per il preponderante peso
dell’effetto sostituzione, poi tende a diminuire al crescere dell’effetto reddito. Un metodo per ovviare a
questo inconveniente consiste nell’offrire un salario piu’ elevato soltanto a partire dalla scelta iniziale.
Come si trova il nuovo equilibrio?
La scelta, in seguito all’incremento del salario per il solo lavoro straordinario, e’ formalizzata nel modo
seguente. Il consumatore effettua la nuova scelta utilizzando la scelta iniziale (punto A) come dotazione,
quindi
max U (C, R)
t.c. pC + wR = pC A + w0 RA
La soluzione (C ∗ , R∗ ) viene determinata dal solito sistema
½
SMS = −w0 /p
pC + wR = pC A + w0 RA
ma, il membro di destra e’ proprio m0 e le soluzioni dipendono dai seguenti parametri
R(p, w0 , m0 )
C(p, w0 , m0 )
L(p, w0 , m0 )
ma questo e’ proprio il punto B! L’incentivo al lavoro straordinario e’ un metodo per far valere il solo
effetto sostituzione, cancellando l’effetto reddito.
12
Applicazioni: 2. Scelta Intertemporale
Il consumatore deve scegliere fra consumo presente c1 e consumo futuro c2 .
La dotazione ω = (ω 1 , ω2 ) rappresenta la dotazione in moneta in ciascun periodo.
La scelta e’ invece (c1 , c2 ) .
Se (ω 1 − c1 ) > 0, il consumatore e’ un risparmiatore netto nel primo periodo, versa il proprio
risparmio in banca o lo da in prestito. Nel successivo periodo ottiene un reddito monetario aggiuntivo di
(ω 1 − c1 ) (1 + r) oltre alla dotazione ω 2 .
Se invece (ω 1 − c1 ) < 0, il consumatore prendera’ in prestito tale ammontare di denaro nel primo
periodo, e il periodo successivo dovra’ pagare alla banca (c1 − ω1 ) (1 + r) .
12.1
Caso semplice
Ipotesi: il prezzo del bene di consumo e’ costante nei due periodi.
Il vincolo di bilancio puo’ essere scritto indifferentemente in termini di valore presente, ovvero scontato
a oggi
c1 +
c2
ω2
= ω1 +
1+r
1+r
(3)
o in termini di valore futuro
c1 (1 + r) + c2 = ω 1 (1 + r) + ω 2
(4)
Volendo ridurre questi vincoli ai vincoli tradizionali dobbiamo capire quali sono i prezzi.
1. Nel caso del vincolo in termini di valore presente, il prezzo complessivo del consumo del primo
periodo, che chiamo P1 = 1, mentre il prezzo complessivo del consumo del secondo periodo, che
chiamo P2 = 1/(1 + r). La pendenza del vincolo di bilancio risulta quindi
−
P1
1
= − 1 = − (1 + r)
P2
(1+r)
17
2. Nel caso del vincolo in termini di valore futuro, il prezzo complessivo del consumo del primo periodo,
che chiamo P1 = (1 + r) , mentre il prezzo complessivo del consumo del secondo periodo, che chiamo
P2 = 1. La pendenza del vincolo di bilancio risulta quindi
−
P1
= − (1 + r)
P2
I due vincoli sono pertanto equivalenti. Nel seguito opteremo per il vincolo in valore presente.
Il problema di scelta e’ pertanto
max U (c1 , c2 )
t.c. c1 +
Il sistema per la soluzione
½
c2
ω2
= ω1 +
1+r
1+r
SMS = − (1 + r)
c2
ω2
= ω 1 + 1+r
c1 + 1+r
Le definizioni di ”reddito” sono
12.2
m = ω1 +
ω2
1+r
m0 = cA
1 +
cA
2
1 + r0
m00 = ω 1 +
ω2
1 + r0
Caso generale
Ipotesi: il prezzo del bene puo’ variare. Il vincolo di bilancio in valore presente sara’ scritto come
p2 c2
p2 ω 2
= p1 ω1 +
p1 c1 +
1+r
1+r
1. Nel caso del vincolo in termini di valore presente, il prezzo complessivo del consumo del primo
periodo, che chiamo P1 = p1 , mentre il prezzo complessivo del consumo del secondo periodo, che
chiamo P2 = p2 /(1 + r). La pendenza del vincolo di bilancio risulta quindi
−
p1
p1
P1
= − p2 = − (1 + r)
P2
p2
(1+r)
2. Nel caso del vincolo in termini di valore futuro,
p1 c1 (1 + r) + p2 c2 = p1 ω 1 (1 + r) + p2 ω2
il prezzo complessivo del consumo del primo periodo, che chiamo P1 = p1 (1 + r) , mentre il prezzo
complessivo del consumo del secondo periodo, che chiamo P2 = p2 . La pendenza del vincolo di
bilancio risulta quindi
−
p1
P1
= − (1 + r)
P2
p2
I vincoli sono sempre equivalenti.
Le definizioni di ”reddito” sono
m = p1 ω 1 +
p2 ω 2
1+r
m0 = p01 cA
1 +
p02 cA
2
1 + r0
m00 = p01 ω1 +
p02 ω2
1 + r0
18
12.3
Inflazione
Ipotesi: p2 = p1 (1 + π) .
Il prezzo del bene nel secondo periodo e’ pari al prezzo del bene nel primo periodo, p1 , aumentato del
tasso d’inflazione, π. Il tasso d’inflazione e’ definito come tasso di variazione dei prezzi, ovvero
π=
p2 − p1
p1
Il vincolo di bilancio diventa
p1 c1 + p1
(1 + π)
(1 + π)
c2 = p1 ω 1 + p1
ω2
1+r
1+r
Si puo’ eliminare p1 e chiamare il termine
1
1+π
=
1+r
1+ρ
dove ρ = tasso d’interesse reale (il quale e’ circa uguale a (r − π)).
Il problema torna ad essere quello del caso semplice in cui sostituiamo il tasso d’interesse reale al tasso
d’interesse nominale.
12.4
Calcolo punti per l’equazione di Slutsky
Siano le funzioni di domanda espresse nei ”prezzi complessivi” P1 e P2
c1 (P1 , P2 , m) = α
c2 (P1 , P2 , m) = (1 − α)
m
P1
m
m
m
= (1 − α) p2 = (1 − α)
(1 + r)
P2
p
2
1+r
tuttavia per omogeneita’ espositiva, manterremo le formule in P1 e P2 , considerando che lo studente
applichi ogni volta la definizione di essi adatta.
La scelta iniziale, PUNTO A
A=
½
c1 (P1 , P2 , m) = α Pm1
c2 (P1 , P2 , m) = (1 − α) Pm2
0
Poi facciamo variare i prezzi: P1 in P1 e P2 in pP. Otteniamo la scelta finale che chiamiamo PUNTO
D che passera’ per la dotazione ai nuovi prezzi.
(
00
c1 (P10 , P20 , m00 ) = α m
P10
D=
00
c2 (P10 , P20 , m00 ) = (1 − α) m
P0
2
ruotando il vincolo di bilancio facendo perno nel punto A otteniamo
(
0
c1 (P10 , P20 , m0 ) = α m
P10
B=
0
c2 (P10 , P20 , m0 ) = (1 − α) m
P0
2
Infine ruotando il vincolo di bilancio in modo da farlo passare per le intercette
¶
µ
m m
,
P10 P20
otteniamo la scelta C
C=
(
c1 (P10 , P20 , m) = α Pm0
1
c2 (P10 , P20 , m) = (1 − α) Pm0
2
19
13
Effetto sostituzione e reddito di Hicks
Studiamo nel caso piu’ semplice, ovvero senza dotazione, un altro tipo di effetto sostituzione: l’effetto
sostituzione di Hicks.
13.1
Variazione compensativa
Dopo aver trovato nel modo tradizionale la scelta iniziale e la scelta finale ai nuovi prezzi, cerchiamo,
come punto intermedio, la scelta ottima ai nuovi prezzi che mantenga il livello di utilita’ della posizione
A. Cerchiamo il punto B tale che
¤
£ B 0 0
¤
£
A
0
B
0
0
0
U xA
1 (p1 , p2 , m) , x1 (p1 , p2 , m) = U x1 (p1 , p2 , m ) , x1 (p1 , p2 , m )
L’incognita di questa equazione e’ il livello del reddito m0 che definisce quel vincolo di bilancio ai nuovi
prezzi (ovvero parallelo al vincolo di bilancio che definisce C) tangente alla curva d’indifferenza iniziale.
Qual’e’ la differenza con l’effetto sostituzione di Slutsky?
L’effetto sostituzione di Slutsky definiva il punto B facendo ruotare il vincolo di bilancio intorno alla
scelta iniziale A. La proprieta’ del punto B era mantenere costante il potere d’acquisto ai nuovi prezzi.
L’effetto sostituzione di Hicks, definisce il punto B facendo ruotare il vincolo di bilancio intorno alla
curva d’indifferenza di A. La proprieta’ di questo punto B e’ di mantenere costante l’utilita’ ai nuovi
prezzi.
13.1.1
Metodo di calcolo
Si calcola la scelta iniziale e il livello di utilita’ da essa definita.

xA (p , p , m) = α pm1


 1A 1 2
x2 (p1 , p2 , m) = (1 − α) pm2
A=
´α ³
´(1−α) ³ ´α ³
´(1−α)
³


(1−α)
m
m
α
A
 U (xA
(1
−
α)
,
x
)
=
α
=
m
1
2
p1
p2
p1
p2
Avendo fatto variare i prezzi, si calcola la scelta finale C
 C 0 0
x (p , p , m) = α pm0


1
 1C 10 20
x2 (p1 , p2 , m) = (1 − α) pm0
C=
³
´α ³ 2
´(1−α) ³ ´α ³
´(1−α)


(1−α)
m
α
 U (xC , xC ) = α m0
=
m
(1
−
α)
0
0
0
1
2
p
p
p
p
1
2
1
2
Si cerca poi il punto B tale che U(A) = U (B). U (A) e’ un numero calcolato. U (B) ha tutti i parametri
noti ad eccezione del reddito m0 che dobbiamo quindi calcolare come incognita dell’equazione.
Calcoliamo quindi prima m0 tale che
U (A)
= U (B)
A
,
x
)
= U (xB
, xB )
U (xA
1
2
´(1−α)
³ ´1 α ³2
(1−α)
= pα0
m0
p0
1
0
2
Una volta calcolato m sono in grado di calcolarmi il punto B
 B 0 0
0
x (p , p , m0 ) = α m

p01

 1B 10 20
0
x2 (p1 , p2 , m0 ) = (1 − α) m
B=
p02
´ ³
´
´
³
³ ´ ³


 U (xB , xB ) = α m α (1 − α) m (1−α) = α α (1−α) (1−α) m
0
0
0
0
1
2
p
p
p
p
1
2
1
2
0
La differenza m − m e’ detta variazione compensativa, VC.
def
V C = m0 − m
Cosa vuol dire? Supponiamo che un prezzo aumenti a causa di una tassa indiretta, per esempio sia
introdotta una tassa sulla benzina. Ci si chiede: qual’e’ la compensazione in termini di reddito che
compenserebbe il consumatore che paga la tassa sulla benzina, in modo tale che la sua utilita’ resti
al livello iniziale U(A)? La risposta e’: la variazione di reddito capace di compensare il consumatore
dell’aumento del livello dei prezzi da (p1 , p2 ) a (p01 , p02 ) e’ (m0 − m) .
20
13.2
Variazione equivalente
Adesso invece cerchiamo quella tassa sul reddito che danneggi il consumatore in misura pari all’introduzione
di una tassa su un solo bene. Data la solita scelta iniziale A e la scelta finale C ai nuovi prezzi, cerchiamo
la scelta (che chiamiamo D) che porti il consumatore sulla stessa curva di indifferenza del punto C (U(C)),
ma mediante una variazione di reddito, ai prezzi iniziali.
In questo caso misuriamo un effetto reddito di Hicks, definito come differenza fra il reddito relativo
della scelta iniziale A e il reddito relativo al punto D facendo ruotare il vincolo di bilancio intorno alla
curva d’indifferenza di C. La proprieta’ di questo punto D e’ di esprimere la variazione di utilita’ che
intercorre fra A e D in termini di solo reddito, mantenendo costanti i prezzi ai livelli iniziali.
13.2.1
Metodo di calcolo
Si calcola, al solito, la




A=



scelta iniziale e il livello di utilita’ da essa definita.
m
xA
1 (p1 , p2 , m) = α p1
m
xA
2 (p1 , p2 , m) = (1 − α) p2
´α ³
´(1−α) ³ ´α ³
´(1−α)
³
(1−α)
m
A
(1 − α) pm2
U (xA
= pα1
m
1 , x2 ) = α p1
p2
Avendo fatto variare i prezzi, si calcola la scelta finale C
 C 0 0
x (p , p , m) = α pm0


1
 1C 10 20
x2 (p1 , p2 , m) = (1 − α) pm0
C=
´α ³ 2
´(1−α) ³ ´α ³
´(1−α)
³


(1−α)
m
α
 U (xC , xC ) = α m0
(1
−
α)
=
m
0
0
0
1
2
p
p
p
p
1
2
1
2
Si cerca poi il punto D tale che U (D) = U (C). U (C) e’ un numero calcolato. U (D) ha tutti i parametri noti
ad eccezione del reddito, che chiamiamo m00 che dobbiamo quindi calcolare come incognita dell’equazione.
Calcoliamo quindi prima m0 tale che
U (C)
= U (D)
C
,
x
)
=
U (xD , xD )
U (xC
1
2
´(1−α)
³ ´1 α ³2
(1−α)
= pα1
m00
p2
Una volta calcolato m00 sono in grado di calcolarmi il punto B

m00
00
xD

1 (p1 , p2 , m ) = α p1

 D
00
x2 (p1 , p2 , m00 ) = (1 − α) m
B=
p2
´(1−α) ³ ´α ³
´(1−α)
³ 00 ´α ³

00

(1−α)
m
D

(1 − α) m
U (xD
= pα1
m00
1 , x2 ) = α p1
p2
p2
La differenza m − m00 e’ detta variazione equivalente, VE.
def
V E = m − m00
14
Funzione quasi-lineare: esempio
Pb:
1/2
max U (x1 , x2 ) = x1 + x2
t.c. p1 x1 + p2 x2 ≤ m
e siano p1 = 1/2, p2 = 1 ed m = 10.
1
SMS = − √
2 x1
21
Sistema
½
− 2√1x1 = − pp12
p1 x1 + p2 x2 = m
Funzioni di domanda



³ ´2
x∗1 = 14 pp21
µ
³ ´2 ¶
1
∗

 x2 = m − 4 pp21
/p2 ==

 xA =
1
A:
 xA =
2
(ii) Dato p01 calcoliamo la scelta finale (punto C)

 xC =
1
C:
 xC =
2
4p1 m−p22
4p1 p2
p22
4p21
m−p1 xA
1
p2
p22
4p02
1
m−p01 xA
1
p2
0 A
(iii) m0 = p01 xA
1 + p2 x2
(iv) Per i = 1, 2

 xB =
1
B:
 xB =
2
p22
4p02
1
m0 −p01 xA
1
p2
¢ ¡ C
¢
¡ B
A
A
B
xC
i − xi = xi − xi + xi − xi
(v) Studiare i segni.
(vi) Disegnate lo spostamento della scelta ottima al variare di m nel piano (x2 , m) .
(vii) Costruiamo un’allocazione fittizia F (corrispondente a quella che nelle dispense chiamo B; qui
cambio lettera perche’ avete gia’ una posizione B in Slutsky) che esprime la tangenza fra la curva
d’indifferenza iniziale U (A) e il vincolo di bilancio ai nuovi prezzi. Il punto F ha i nuovi prezzi e un
reddito mC (dove C sta per ”compensativa”) che e’ soluzione dell’uguaglianza U(A) = U (F ).

 xF = p2202
1
4p1
F :
0 F
C
 xF = m −p1 x1
2
p2
U (A) = U
q(F2)
p
= 4p202 +
mC −p01 xF
1
p2
2
C
p2
p1 p2
m
2p01 + p2 − p2 4p02
1
p2
p2
mC
−
+
0
0
2p1
p2
4p1
2p2 −p2
mC
+
0
4p1
p2
p2
mC
+
0
4p1
p2
1
=
=
=
=
da cui
·
¸
1
p2
U(A) − 0
m =
p2
4p1
C
V C = mC − m
22
(viii) Costruiamo un’allocazione fittizia G (corrispondente a quella che nelle dispense chiamo D; qui
cambio lettera per evitare confusioni con la posizione D in Slutsky) che esprime la tangenza fra la curva
d’indifferenza finale U (C) e il vincolo di bilancio ai prezzi iniziali. Il punto G ha i prezzi iniziali e un
reddito mE (dove E sta per ”equivalente”) che e’ soluzione dell’uguaglianza U (C) = U (G).

 xG = p222
1
4p1
G:
E
G
 xG = m −p1 x1
2
p2
U (C) = U
q(G)
p2
= 4p22 +
=
=
=
=
da cui
mE −p1 xG
1
p2
1
2
E
p2
p1 p2
m
2p1 + p2 − p2 4p21
p2
p2
mE
2p1 + p2 − 4p1
E
2p2 −p2
+ mp2
4p1
p2
mE
4p1 + p2
·
¸
1
p2
U (C) −
m =
p2
4p1
E
V E = m − mE
Dalla tabella si vede che per la funzione quasi-lineare V C = V E perche’ non c’e’ effetto reddito.
15
Surplus del consumatore
Definizione 8 Surplus lordo del consumatore. Beneficio derivante dal consumo di una certa quantita’
del bene in termini di utilita’.
Definizione 9 Surplus netto del consumatore. Differenza fra la disponilbilita’ a pagare il consumo di
una certa quantita’ del bene in termini di utilita’ e il pagamento effettivo.
osservazione 1 Al variare di un prezzo si hanno effetto sostituzione ed effetto reddito. Il secondo effetto
crea una variazione di domanda sui mercati diversi da quello in cui e’ variato il prezzo. Per ora vogliamo
concentrare l’attenzione sul solo mercato di riferimento. Per questo vogliamo escludere l’effetto reddito.
A questo scopo utilizziamo la funzione di utilita’ quasi-lineare, la quale per costruzione esclude l’effetto
reddito. Il bene di riferimento e’ x, mentre quello residuale (= moneta) e’ y.
Il problema del consumatore e’
max U (x, y) = v(x) + y
t.c. px x + py y = m
Sia px = p, py = 1, il vincolo di bilancio diventa px + y = m. Lo riscrivo esplicitando y. Si ha
y = m − px
e sostituisco nella funzione obiettivo
max U(x) = v(x) + m − px
Adesso la U (x) dipende solo da x. Dunque derivando ed eguagliando a zero:
dU (x) dv(x)
:
−p=0
(5)
dx
dx
Attenzione! Nella (5) vi sono due variabili: x e p. Vanno determinate una in funzione dell’altra. O viene
fissato il prezzo di mercato e si studia qual’e’ la quantita’x domandata a qual prezzo. O viceversa, fissata
la quantita’ x, si studia qual’e’ la disponibilita’ a pagare per essa p(x).
Per il caso continuo si veda l’appendice al cap. 14 di Varian.
23
15.1
Caso discreto
Nell’analisi discreta tale disponibilita’ a pagare viene chiamata ”prezzo di riserva” rn .
Dimostrazione intuitiva.
Al posto della derivata scriviamo l’incremento discreto della U (x) e lo poniamo uguale a zero.
∆U (x) = U(xn ) − U (x(n−1) ) £
¤
= [v(xn ) + m − pxn ] − v(x(n−1) ) + m − px(n−1)
Poiche’ l’analisi dell’incremento e’ analisi discreta, sostituiamo al prezzo p, il prezzo di riserva rn . Il
”prezzo di riserva” rn e’ definito propriamente come quel prezzo che rende U (xn ) indifferente a U(x(n−1) ).
Pertanto, rn resta costante fra U (xn ) e U(x(n−1) ).
¤
£
∆U (x) = [v(xn ) + m − rn xn ] − v(x
¡ (n−1) ) + m
¢ − rn x(n−1)
= v(xn ) − v(x(n−1) ) − rn xn − x(n−1) = 0
¡
¢
Il termine xn − x(n−1) = 1 per ogni n, poiche’ e’ la differenza fra due unita’ discrete. Resta
v(xn ) − v(x(n−1) ) = rn
Il prezzo di riserva nel discreto e equivalentemente, il punto p(x) sulla curva di domanda nel continuo, nel
caso della funzione quasi lineare, esprimono esattamente l’incremento di utilita’ dovuto ad un incremento
unitario di x. Sommiamo i termini da ambo i lati
¤ P
PN £
) = N
n=1 v(xn ) − v(x(n−1)
n=1 rn
PN
v(xN ) − v(x0 ) = n=1 rn
P
v(xN ) = N
n=1 rn
Dalla prima alla seconda riga sono stati semplificati i termini uguali. Dalla seconda alla terza si e’ usato
il fatto che v(x0 ) = 0 ovvero l’utilita’ di consumare nulla e’ zero. Il membro di destra e’ l’area al di
sotto della curva di domanda, quindi l’utilita’ di consumare xN unita’ e’ esprimibile come area al di sotto
della curva di domanda SE e SOLO SE non vi sono effetti reddito o, gli effetti reddito possono essere
approssimati a zero.
Si definisce pertanto surplus lordo del consumatore
def
SLC =
N
X
rn
n=1
Per ottenere il surplus netto del consumatore devo sottrarre al SLC il costo della quantita’ consumata
del bene, ovvero il prezzo di mercato moltiplicato per la quantita’ consumata xN .
Pertanto si definisce surplus netto del consumatore
def
SN C =
N
X
n=1
rn − pN xN
Calcolo nel discreto
Bisogna sommare i rettangoli sottostanti la curva di domanda. Ciascuno di essi ha base pari ad 1 ed
altezza pari a rn , quindi si tratta di applicare le due formule per il SCL o SCN.
Calcolo nel continuo
Se la curva di domanda e’ continua e lineare e’ sufficiente calcolare le aree seguendo le piu’ banali
regole della geometria.
24