Liceo Scientifico Statale “Renato Caccioppoli”
Napoli
Programma di
MATEMATICA svolto nella
Classe 5 sez. A
Anno Scolastico 2011/2012
Prof. Gentile Roberto
Richiami di goniometria e teoremi di trigonometria
Premesse all'analisi infinitesimale
Insiemi numerici e di punti. Intervalli. Intorni. Insiemi numerici limitati e illimitati. Considerazioni intuitive sul
massimo e sul minimo di un insieme numerico. Estremo superiore e inferiore di un insieme numerico.
Punti di accumulazione. Funzioni limitate. Massimi e minimi assoluti. Determinazione del dominio di una
funzione.
I limiti e continuità delle funzioni
Definizioni di limite. Limite destro e limite sinistro. Limite per difetto e per eccesso. Asintoti orizzontali.
Teoremi generali sui limiti: unicità, permanenza del segno e confronto e corollari, (senza dim.). Funzioni
continue e calcolo dei limiti. Continuità delle funzioni elementari. Calcolo dei limiti delle funzioni continue.
L'algebra dei limiti e delle funzioni continue
Teoremi sul calcolo dei limiti (somma algebrica, prodotto, reciproco, quoziente, radice) di funzioni. Limiti di
funzioni razionali intere e fratte. Limiti di funzioni composte, cambiamento di variabile. Dimostrazioni di
limiti notevoli. Studio delle forme indeterminate. Confronto tra infiniti e infinitesimi.
Funzioni continue
Discontinuità delle funzioni. Proprietà delle funzioni continue. Teorema di Weierstass e di Darboux. Grafico
probabile di una funzione. Metodo grafico e di bisezione per la risoluzione di equazioni algebriche e
trascendenti.
La derivata di una funzione
Definizioni e nozioni fondamentali sulle derivate. Significato geometrico. Punti stazionari. Interpretazione
geometrica di alcuni casi di non derivabilità. Continuità delle funzioni derivabili. Derivate fondamentali
(potenze, funzioni goniometriche, logaritmiche, esponenziali). Teoremi sul calcolo delle derivate: prodotto,
quoziente, funzioni composte. Derivata logaritmica e funzione inversa. Derivate di ordine superiore.
Differenziale di una funzione e suo significato geometrico. Applicazioni alla fisica.
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I teoremi sulle funzioni derivabili
Applicazioni e dimostrazioni dei teoremi di Rolle e Lagrange. Studio della crescenza e decrescenza di una
funzione. Enunciato del teorema di de L’Hospital. Forme indeterminate con la regola di de L’Hospital.
I massimi, i minimi e i flessi
Definizioni di massimo e di minimo relativo e di punto di flesso. Teoremi sui massimi e minimi relativi.
Criterio sufficiente per la determinazione dei punti di minimo e massimo relativi. Ricerca dei minimi e
massimi relativi e assoluti. Concavità di una curva e ricerca dei punti di flesso. Ricerca dei massimi,
minimi, flessi a tangente orizzontale con il metodo delle derivate successive. Problemi di massimo e di
minimo.
Studio di funzioni
Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Studio di funzioni: polinomiali, razionali fratte, irrazionali, esponenziali,
logaritmiche, goniometriche e loro inverse. Le funzioni con valori assoluti. Grafici di funzioni.
Gli integrali indefiniti
Integrale indefinito. Integrale indefinito come operatore lineare. Integrazioni immediate. Integrazione delle
funzioni razionali fratte. Integrazione per sostituzione. Integrazione per parti. Applicazioni cinematiche degli
integrali.
Integrali definiti
Introduzione intuitiva al concetto di integrale definito. Integrale definito di una funzione continua. Proprietà.
Il teorema della media e di Torricelli-Barrow. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrali delle
funzioni pari e dispari. Calcoli di integrali definiti. Calcoli di aree, volumi, lunghezze di curve e superfici di
rotazione.
Napoli, 29 maggio 2012
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Il docente
Prof. Roberto Gentile
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