Liceo Scientifico Statale “Renato Caccioppoli” Napoli Programma di MATEMATICA svolto nella Classe 5 sez. A Anno Scolastico 2013/2014 Prof. Gentile Roberto Richiami di goniometria e teoremi di trigonometria Premesse all'analisi infinitesimale Insiemi numerici e di punti. Intervalli. Intorni. Insiemi numerici limitati e illimitati. Considerazioni intuitive sul massimo e sul minimo di un insieme numerico. Estremo superiore e inferiore di un insieme numerico. Punti di accumulazione. Funzioni limitate. Massimi e minimi assoluti. Determinazione del dominio di una funzione. I limiti e continuità delle funzioni Definizioni di limite. Limite destro e limite sinistro. Limite per difetto e per eccesso. Asintoti orizzontali. Teoremi generali sui limiti: unicità, permanenza del segno e confronto e corollari, (senza dim.). Funzioni continue e calcolo dei limiti. Continuità delle funzioni elementari. Calcolo dei limiti delle funzioni continue. L'algebra dei limiti e delle funzioni continue Teoremi (senza dim.) sul calcolo dei limiti (somma algebrica, prodotto, reciproco, quoziente, radice) di funzioni. Limiti di funzioni razionali intere e fratte. Limiti di funzioni composte, cambiamento di variabile. Limiti notevoli. Studio delle forme indeterminate. Confronto tra infiniti e infinitesimi. Funzioni continue Discontinuità delle funzioni. Proprietà delle funzioni continue. Enunciati dei teoremi di Weierstass e di Darboux. Grafico probabile di una funzione. Metodo grafico e di bisezione per la risoluzione di equazioni algebriche e trascendenti. La derivata di una funzione Definizioni e nozioni fondamentali sulle derivate. Significato geometrico. Punti stazionari. Interpretazione geometrica di alcuni casi di non derivabilità. Continuità delle funzioni derivabili. Derivate fondamentali (potenze, funzioni goniometriche, logaritmiche, esponenziali). Teoremi sul calcolo delle derivate: prodotto, quoziente, funzioni composte. Derivata logaritmica e funzione inversa. Derivate di ordine superiore. Differenziale di una funzione e suo significato geometrico. Applicazioni alla fisica. 1 I teoremi sulle funzioni derivabili Applicazioni e dimostrazioni dei teoremi di Rolle e Lagrange. Studio della crescenza e decrescenza di una funzione. Enunciato del teorema di de L’Hospital. Forme indeterminate con la regola di de L’Hospital. I massimi, i minimi e i flessi Definizioni di massimo e di minimo relativo e di punto di flesso. Teoremi sui massimi e minimi relativi. Criterio sufficiente per la determinazione dei punti di minimo e massimo relativi. Ricerca dei minimi e massimi relativi e assoluti. Concavità di una curva e ricerca dei punti di flesso. Ricerca dei massimi, minimi, flessi a tangente orizzontale con il metodo delle derivate successive. Problemi di massimo e di minimo. Studio di funzioni Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Studio di funzioni: polinomiali, razionali fratte, irrazionali, esponenziali, logaritmiche, goniometriche e loro inverse. Le funzioni con valori assoluti. Grafici di funzioni. Gli integrali indefiniti Integrale indefinito. Integrale indefinito come operatore lineare. Integrazioni immediate. Integrazione delle funzioni razionali fratte. Integrazione per sostituzione. Integrazione per parti. Applicazioni cinematiche degli integrali. Integrali definiti Introduzione intuitiva al concetto di integrale definito. Integrale definito di una funzione continua. Proprietà. Il teorema della media e di Torricelli-Barrow. Formula fondamentale del calcolo integrale. Integrali delle funzioni pari e dispari. Calcoli di integrali definiti. Calcoli di aree e di volumi anche si solidi di rotazione. Napoli, 26 maggio 2014 _________________________ _________________________ ________________________ Il docente Prof. Roberto Gentile ____________________ 2