Estratto dal bollettino trimestrale dell'Associazione per l'Insegnamento della Fisica
LA FISICA NELLA SCUOLA
Fisica in gioco
Imbuto gravitazionale
a cura di Silvia Defrancesco, Liceo Scientifico “G. Galilei”, Trento
Introduzione Si tratta di un gioco molto diffuso nei
musei, sia per mostrare un po’ di fisica,
sia per raccogliere fondi(fig.1). Il gioco
consiste nel lanciare una moneta all’interno di un oggetto con una forma particolare, simile (ma non uguale, come vedremo) ad un imbuto. Si cercherà di fare
in modo che la moneta venga inghiottita dal foro dell’imbuto il più tardi possibile.
Per quanto riguarda la fisica, esso permette di simulare le orbite dei pianeti.
Il gioco può essere acquistato (con il
nome di Vortx ),1oppure fatto in casa 2 .
Figura 1.
Descrizione Quando una sferetta (o una moneta) viene lanciata con opportuna velocità
orizzontale all’interno dell’imbuto, essa descrive una traiettoria circolare che un
po’ alla volta spiralizza verso il basso, mentre la sua velocità cresce gradualmente. Se la sua velocità iniziale è diretta anche verso l’alto, la sferetta sale e scende
nel pozzo e la traiettoria vista dall’alto non è più circolare, ma ellittica.Non solo
la traiettoria è ellittica, come per i pianeti, ma succede anche, come per i pianeti,
che la velocità orizzontale della sferetta è più elevata in prossimità dell’asse dell’imbuto, mentre è minore quandosi trova più lontana.
La traiettoria della sferetta appare dunque come l’orbita di un pianeta che ruota attorno al Sole. Il foro dell’imbuto rappresenta il Sole, la sfera un pianeta e la
forza gravitazionale è fornita dalla parete dell’imbuto. Affinché la sferetta si comporti nel modo sopra descritto, il profilo dell’imbuto deve essere iperbolico. Vediamo perché 3 .
Supponiamo dapprima che la sferetta
si trovi su un piano inclinato, privo di atα
trito e di angolo
. Le forze che agiscono
sulla sfera sono la forza peso F P e la reazione del piano R. Affinché la sfera sia
soggetta ad un moto circolare, la somma
di queste due forze deve dare la forza
centripeta (si veda la figura 2)
Fc = ma c = m ω2 x.
Figura 2.
Dunque:
R cosα = mg e R sen α = ma c .
Da cui:
tgα = ω2 x/g.
Supponiamo ora che il profilo del piano su cui si muove la sferetta sia a sezione di iperbole e vediamo che conseguenze porta. L’equazione del profilo è y=–k/x
(il segno meno è stato scelto per ottenere una tangente positiva).La tangente dell’angolo è la derivata prima della funzione, dunque:
tg α =k/x 2 .
(1)
(2)
Uguagliando la (1) e la (2) si ottiene:
ω2 x/g = k/x 2 .
Sostituendo ω con 2π /T, si ricava la terza legge di Keplero:
4 π 2 x/T 2 g = k/x 2 ,
ovvero:
x 3 /T 2 = costante.
(3)
La forza cui è soggetta la sferetta è la forza
centripeta F c = m ω 2 x = m4 π 2 x/T 2 ; sostituendo a
T la (3) la forza risulta essere proporzionale all’inverso del quadrato della distanza: come la
forza di gravitazione universale.
È necessario sottolineare che le orbite non
sono chiuse a causa della perdita di energia dovuta alle forze di attrito.
Possibili
estensioni
Può essere interessante filmare l’orbita della
moneta e analizzarla con il software Tracker. Nella figura 3 si possono osservare alcune posizioni
della sfera.
Figura 3.
Bilbiografia [1] Video clip: http://www-toys.science.unitn.it/toys/en-html/en-m-imbuto.html.
[2] http://www.exo.net/~pauld/activities/astronomy/gravitywell.html.
[3] Qualche informazione si può trovare sul sito:http://www.funnelworks.com/index.html.
[4] Una simulazione analoga si può fare con le lamine di sapone. Si veda: “Planets and galaxies on
soap films”, di A.J. Ferreira de Oliveira e E. de Campos Valadares,The Physics Teacher, Vol. 44,
Sept. 2006.
Note
1
http://www.teachersource.com/Energy/FantasticRides/TheVortx.aspx.
Una buona scheda di istruzioni si può trovare all’indirizzo:
http://outreach.atnf.csiro.au/education/teachers/resources/zolapotential.pdf.
3
La dimostrazione mi è stata comunicata dal prof. Vittorio Zanetti, che ringrazio vivamente.
2
