forze, lavoro, energia – esercizio n. 48
Una sferetta di massa m = 5,00 g scivola senza attrito lungo la guida mostrata in
figura. La sferetta viene lasciata andare da un’altezza h = 3,50·R.
a. Qual è il valore della velocità della sferetta nella posizione A e quanto vale la
forza che la guida deve esercitare su di essa?
b. Qual è il valore della velocità della sferetta nella posizione B e quanto vale la
forza che la guida deve esercitare su di essa?
c. Qual dovrebbe essere l’altezza minima dalla quale si dovrebbe far partire una
sferetta di qualsiasi massa per percorrere interamente il circuito rappresentato in
figura?
R.: 3 ⋅ g ⋅ R ; 0,099 N ; 5 ⋅ g ⋅ R ; 0,245 N ; 2,5·R ;
h
A
R
A
B
FA
FB
mg
B
mg
Calcolo della velocità della sferetta in A.
L’energia iniziale della sferetta coincide con la sua energia potenziale gravitazionale:
E i = Ugravitazionale = m ⋅ g ⋅ h
L’energia finale della sferetta in A è la somma dell’energia potenziale gravitazionale e
dell’energia cinetica in A:
1
E f = ⎡⎣Ugravitazionale + Ucinetica ⎤⎦ = m ⋅ g ⋅ 2R + ⋅ m ⋅ v A 2
A
2
Per il principio di conservazione dell’energia meccanica:
Ei =Ef
m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ 2R +
1
⋅ m ⋅ vA2
2
v A = 2 ⋅ g ⋅ h − 4 ⋅ g ⋅ R = g ⋅ ( 2 ⋅ 3,5 ⋅ R − 4 ⋅ R ) = 3 ⋅ g ⋅ R
Calcolo della forza che la guida deve esercitare sulla sferetta in A:
Dall’equilibrio del diagramma del corpo libero in A sono due le forze che agiscono sulla
sferetta nel punto A entrambe rivolte verso il basso: il peso m· g della sferetta e la forza FA
che la guida esercita sulla sferetta stessa. Queste due forze devono fornire insieme la
forza centripeta necessaria affinché la sferetta segua la traiettoria circolare:
m ⋅ vA2
FA + m ⋅ g =
R
m⋅
m ⋅ vA2
−m⋅g =
FA =
R
(
3 ⋅ g⋅R
R
)
2
− m ⋅ g = 2 ⋅ m ⋅ g = 2 ⋅ 5 ⋅ 10−3 ⋅ 9,8 = 99 ⋅ 10 −3 N
1
forze, lavoro, energia – esercizio n. 48
Calcolo della velocità della sferetta in B.
L’energia iniziale della sferetta coincide con la sua energia potenziale gravitazionale:
E i = Ugravitazionale = m ⋅ g ⋅ h
L’energia finale della sferetta in B è la somma dell’energia potenziale gravitazionale e
dell’energia cinetica in B:
1
E f = ⎡⎣Ugravitazionale + Ucinetica ⎤⎦ = m ⋅ g ⋅ R + ⋅ m ⋅ v B 2
B
2
Per il principio di conservazione dell’energia meccanica:
Ei =Ef
m ⋅ g⋅h = m ⋅ g ⋅R +
1
⋅ m ⋅ vB2
2
v B = 2 ⋅ g ⋅ h − 2 ⋅ g ⋅ R = g ⋅ ( 2 ⋅ 3,5 ⋅ R − 2 ⋅ R ) = 5 ⋅ g ⋅ R
Calcolo della forza che la guida deve esercitare sulla sferetta in B:
Dall’equilibrio del diagramma del corpo libero in B sono due le forze che agiscono sulla
sferetta nel punto B, ma questa volta mentre il peso m· g della sferetta è rivolto verso il
basso, la forza FB che la guida esercita sulla sferetta stessa deve essere rivolta verso il
centro della guida stessa, perchè deve fornire la forza centripeta richiesta affinché la
sferetta segua la traiettoria circolare:
m ⋅ vB2
FB =
R
FB =
m ⋅ vB
=
R
2
m⋅
(
5 ⋅ g ⋅R
R
)
2
= 5 ⋅ m ⋅ g = 5 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 ⋅ 9,8 = 245 ⋅ 10 −3 N
Calcolo dell’altezza minima di caduta.
L’energia iniziale della sferetta coincide con la sua energia potenziale gravitazionale:
E i = Ugravitazionale = m ⋅ g ⋅ h
L’energia finale della sferetta in A è la somma dell’energia potenziale gravitazionale e
dell’energia cinetica in A:
1
E f = ⎡⎣Ugravitazionale + Ucinetica ⎤⎦ = m ⋅ g ⋅ 2R + ⋅ m ⋅ v A 2
A
2
Per il principio di conservazione dell’energia meccanica:
Ei =Ef
m ⋅ g ⋅ h = m ⋅ g ⋅ 2R +
1
⋅ m ⋅ vA2
2
vA = 2 ⋅ g ⋅ h − 4 ⋅ g ⋅R
Dalle condizioni di equilibrio nel punto A si ricava che la forza centripeta necessaria
affinché la sferetta segua la traiettoria circolare deve essere maggiore della forza peso
della sferetta:
2
forze, lavoro, energia – esercizio n. 48
m ⋅ vA2
> m⋅g
R
m ⋅ ( 2 ⋅ g ⋅ hmin − 4 ⋅ g ⋅ R )2
R
hmin >
> m⋅g
5
⋅R
2
3
