Esercizi fluidi 1. Un fluido scorre con moto stazionario in un condotto orizzontale cilindrico che nel punto A ha raggio rA=20 cm e nel punto B ha raggio rB = 10 cm . a) Se la velocità del fluido nel punto A vale vA=0.3 m/s, quanto vale la velocità in B? b) Supponendo ora che il punto A si trovi ad una quota maggiore di quella di B di 1 m, che la pressione sia la medesima in tutto il fluido, e che la velocità del fluido in A sia v A=0.3 m/s , quale è la velocità del fluido in B? Soluzione: a. Il moto è stazionario e dunque si conserva la portata Q = S v. Nel nostro caso questo significa vB = vA SA/SB = vA rA2/rB2 = 4 vA = 1.2 m/s b. Nel caso in cui il punto A si trovi ad una differenza di quota h = 1m rispetto al punto B, per il teorema di Bernoulli pA 1 2 1 v A gh p B v B2 2 2 da cui si ricava direttamente la velocità in B, essendo la pressione uguale in entrambi i punti: v B2 v A2 2 gh v B v A2 2 gh 4.4 m / s 2. Dell’acqua viene pompata da un fiume fino ad un villaggio di montagna attraverso un tubo di diametro d = 15.0 cm. Il fiume è a quota h1 = 564 m, mentre il villaggio si trova a quota h2 = 2096 m. Se ogni giorno vengono pompati 4500 m3 di acqua, quale è la velocità dell’acqua all’interno del tubo? Supponendo che l’acqua scorra nel fiume molto lentamente (v0), quale è la pressione con la quale viene pompata l’acqua dal fiume al villaggio ? Soluzione : La velocità v con cui viene pompata acqua nel tubo si può ricavare dalla definizione di portata: 4500 m 3 ove la sezione del tubo è A = (d/2)2 Av giorno 2 4500 m 3 1 4500 m 3 1 2 v 2.95 m / s 2 giorno A 24 (3600s ) 15.0 10 m Per calcolare la pressione applicata a livello del fiume F per pompare acqua al villaggio V utilizzo il teorema di Bernoulli: 1 2 1 v F pV ghV vV2 2 2 1 p F ghF 0 1 atm ghV vV2 2 1 p F 1 atm g ( hV hF ) vV2 2 kg 1 kg 1.013 105 Pa 10 3 3 9.8m / s 2 1532m 10 3 3 ( 2.95m / s ) 2 15.1 10 6 Pa m 2 m p F ghF 3. Un corpo di massa m = 500 g e di densità doppia rispetto all’acqua è sospeso ad una fune inestensibile ed è completamente immerso in un recipiente pieno d’acqua. Il corpo si trova ad una distanza h = 1 m dal fondo del recipiente. Calcolare: a. la tensione T della fune; b. la velocità con cui il corpo raggiunge il fondo del recipiente dopo che la fune è stata tagliata Soluzione : a) Per calcolare la tensione della fune basta applicare l’equilibrio delle forze: Fnet T FA Fg 0 ove FA = mf g è la spinta di Archimede ed Fg = mg è la forza peso. Proiettando l’equazione vettoriale sull’asse y verticale si ottiene: T FA Fg 0 T Fg FA mg m f g ( f )Vg Sapendo che il corpo ha densità doppia rispetto al fluido si ottiene: T ( f )Vg ( 2 f f )Vg f Vg f m g 2 f mg 0.5kg 9.8 m / s 2 2.45 N 2 2 b) Dopo che la fune è stata tagliata il corpo è soggetto ad una forza netta non nulla Fnet FA Fg ma Proiettando sull’asse y l’equazione precedente si ottiene l’accelerazione a di cui risente il corpo: FA Fg ma a FA Fg m m f g mg m ( f )Vg V ( f 2 f ) 2 f g g 2 La velocità con cui il corpo giunge sul fondo del recipiente, partendo da una distanza h = 1 m, è quindi pari a: v 2 v 02 2a ( y y 0 ) 2ah 2 v gh 3.13 m / s g h gh 2 4. Una sferetta metallica pesata in aria risulta pari a 1,1 kg, mentre pesata totalmente immersa in acqua, è pari a 0.7 kg.. Si determini: a.La spinta Archimedea agente sulla sferetta in acqua b. La densità della sferetta Soluzione : a. Quando la sferetta è immersa in acqua agisce, oltre alla forza peso, la spinta Archimedea esercitata dall’acqua, con verso opposto a quello della forza peso. Il valore della Spinta S si ottiene pertanto come differenza dei valori delle due pesate , in aria ed in acqua , ed è quindi: S= (1.1 – 0.7 ) g = 0.4 g = 3.92 N (g è l’accelerazione di gravità) b. La Spinta Archimedea S è pari al peso dell’ acqua spostata , la massa macqua di acqua spostata è pertanto macqua = S/g = 0.4 kg . Indicata con dacqua la densità dell’acqua, il volume V di acqua spostata, pari a quello della sferetta , è V = macqua/ dacqua = 0.4 10 - 3 m 3 . Indicata con mS è la massa della sferetta, uguale a 1.1 kg , la densità dS della sferetta è: dS = mS / V = 2.75 103 kg/m 3 5. Un corpo di forma irregolare occupa un volume V = 1 dm3 ed ha al suo interno una cavità vuota di volume VC = V/3. Il corpo è completamente immerso in acqua, ed e’ in equilibrio . Determinare: a) la spinta di Archimede sul corpo; b) la densità del corpo. Soluzione : La spinta di Archimede è pari in modulo alla forza peso relativa alla massa di fluido spostato dal corpo, ossia alla massa di fluido occupante il volume V: FA f Vg 10 3 kg m 10 3 m 3 9.8 2 9.8 N 3 m s b) Per calcolare la densità del corpo impongo la condizione di equilibrio tra la forza peso e la spinta di Archimede: Fg FA (V VC ) g f Vg V 3 (V ) g f Vg 2 3 Vg f Vg 3 3 kg kg f 10 3 3 1.5 10 3 3 2 2 m m