forza, lavoro, energia – esercizio n. 60 - Digilander

forza , lavoro, energia – esercizio n. 60
Una sferetta di massa m = 40 g viene lasciata cadere da un’altezza h = 7 m con
una velocità iniziale di v0 = 2 m/s.
Calcolare:
a) La velocità della sferetta a metà percorso di caduta.
b) La velocità della sferetta al suolo.
c) Il valore della forza di attrito ed il rispettivo lavoro quando la sferetta penetra
per ∆x = 25 cm nella sabbia costituente il pavimento
R.: 8,52 m/s ; 11,89 m/s ; 11,70N ; 2,95 J ;
hm
∆x cm
Calcolo della velocità della sferetta a metà percorso di caduta
Per il principio di conservazione dell’energia, essendo tutte le forze presenti nel
sistema di tipo conservativo, si deve avere (chiamando con K l’energia cinetica e con
Ug l’energia potenziale della sferetta):
K i + Ugi = K f + Ugf
I valori iniziali e finali di tali energie risultano essere:
1
1
K i = ⋅ m ⋅ v 02
K f = ⋅ m ⋅ v h2 / 2
2
2
h
Ugi = m ⋅ g ⋅ h
Ugf = m ⋅ g ⋅
2
e pertanto:
K i + Ugi = K f + Ugf
1
1
h
⋅ m ⋅ v 02 + m ⋅ g ⋅ h = ⋅ m ⋅ v h2 / 2 + m ⋅ g ⋅
2
2
2
2
2
v0 + 2 ⋅ g ⋅ h = vh / 2 + g ⋅ h
v h / 2 = v 02 + g ⋅ h = 22 + 9,81⋅ 7 = 8,52 m / s
1
forza , lavoro, energia – esercizio n. 60
Calcolo della velocità della sferetta al suolo
Utilizzando lo stesso ragionamento:
1
1
2
K i = ⋅ m ⋅ v 02
K f = ⋅ m ⋅ v suolo
2
2
Ugi = m ⋅ g ⋅ h
Ugf = m ⋅ g ⋅ 0
e pertanto:
K i + Ugi = K f + Ugf
1
1
⋅ m ⋅ v 02 + m ⋅ g ⋅ h = ⋅ m ⋅ v 2suolo + m ⋅ g ⋅ 0
2
2
2
2
v 0 + 2 ⋅ g ⋅ h = v suolo
v suolo = v 02 + 2 ⋅ g ⋅ h = 22 + 2 ⋅ 9,81⋅ 7 = 11,89 m / s
Calcolo del valore della forza di attrito ed del rispettivo lavoro quando la sferetta
penetra per ∆x = 25 cm nella sabbia costituente il pavimento
Questa volta essendo presente la forza di attrito (non conservativa) il principio di
conservazione dell’energia da applicare è:
K i + Ugi − Fx ⋅ ∆x = K f + Ugf
Assumendo come riferimento dell’energia potenziale gravitazionale il livello a cui si
fermerà la sferetta, si avrà:
1
2
K i = ⋅ m ⋅ v suolo
Kf = 0
2
Ugi = m ⋅ g ⋅ ∆x
Ugf = m ⋅ g ⋅ 0
e pertanto:
K i + Ugi − Fx ⋅ ∆x = K f + Ugf
1
⋅ m ⋅ v 2suolo + m ⋅ g ⋅ ∆x − Fx ⋅ ∆x = 0 + 0
2
1
2
Fx ⋅ ∆x = ⋅ m ⋅ v suolo
+ m ⋅ g ⋅ ∆x
2
2
⎛ 1 v 2suolo
⎞
⎞
−2 ⎛ 1 11,89
Fx = m ⋅ ⎜ ⋅
+ g ⎟ = 4 ⋅ 10 ⋅ ⎜ ⋅
+ 9,81⎟ = 11,70 N
2
⎝ 2 25 ⋅ 10
⎠
⎝ 2 ∆x
⎠
e di conseguenza il lavoro compiuto dalle forza di attrito:
L x = Fx ⋅ ∆x = 11,70 ⋅ 25 ⋅ 10 −2 = 2,95 J
2