Lezioni da Matematica I Calcolo differenziale, Algebra lineare, Probabilità e statistica G. Aletti & G. Naldi & L. Pareschi http://www.ateneonline.it/naldi matematica McGraw-Hill Capitolo 4, Grafici di funzioni e approssimazioni 1 Derivate di ordine superiore Analizziamo il limite del seguente rapporto incrementale f 0 (x + h) − f 0 (x) . h→0 h lim Nel caso in cui tale limite esiste si chiama derivata seconda di f in x0 e si indica con f 00 (x0 ) o con uno sei seguenti simboli d2 df ¯¯ f (2) (x0 ), f (x ), . ¯ 0 dx2 dx2 x=x0 Il processo potrebbe continuare per n volte portando alla definizione della derivata n-esima di f f (n) , dn f , y (n) . dxn Si dice anche che f (n) è la derivata di ordine n di f , per convenzione f (0) = f . f → f 0 → f 00 → ... Esempio: f (x) = sin x + x2 → f 0 (x) = cos x + 2x → f 00 (x) = − sin x + 2 ... 2 Derivata seconda e convessità Teorema 4.1 Sia f : (a, b) → R, f derivabile due volte in (a, b), allora f è convessa (concava) se e solo se f 00 (x) ≥ 0 (f 00 (x) ≤ 0) per ogni x in (a, b). Cosa succede se cambia concavità? Definizione 4.1 (Punto di flesso) Sia f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b) un punto in cui esiste la derivata (finita o meno). Il punto x0 si dice di flesso se esiste un intorno destro di x0 in cui f è convessa (concava) e un intorno sinistro di x0 in cui f è concava (convessa). x4−4 x3 4 x3−12 x2 0 40 −10 30 20 −20 10 −30 0 −40 −10 −50 −20 −60 −30 −2 −1 0 1 2 3 −2 −1 0 x 1 2 3 2 3 x 2 12 x −24 x 24 x−24 100 40 80 20 60 0 40 −20 20 −40 0 −60 −20 −2 −1 0 1 2 −80 −2 3 x −1 0 1 x Figura 4.1: Grafico di f (x) = x4 − 4x3 e delle derivate f 0 (x), f 00 (x), f (3) (x). 3 Test della derivata seconda Teorema 4.2 Sia f : (a, b) → R, una funzione derivabile due volte in (a, b), x0 ∈ (a, b) punto stazionario, f 0 (x0 ) = 0, i) se f 00 (x0 ) > 0, allora f ha un minimo locale in x0 ; ii) se f 00 (x0 ) < 0, allora f ha un massimo locale in x0 . Punto di massimo locale Punto di minimo locale f′ (x 0 )=0 f′ ′ (x 0 )<0 f′ ′ (x0 )>0 f′ (x 0 )=0 x 0 x0 x Figura 4.2: Convessità/concavità e punto stazionario danno un punto di minimo o un punto di massimo locale. 4 x Uno strumento di calcolo Teorema 4.3 (Regola di De l’Hôpital) Siano −∞ ≤ a < b ≤ +∞ e f, g : (a, b) → R due funzioni tali che i) limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0 (oppure +∞, oppure −∞); ii) f, g derivabili in (a, b), g 0 (x) 6= 0 per x ∈ (a, b); iii) esiste il limite (finito o infinito) lim+ x→a f 0 (x) =L g 0 (x) allora esiste anche il limite lim+ x→a f (x) = L. g(x) Quando si usa: forme indeterminate Attenzione agli abusi 5 Grafico di una funzione Andar per punti ... non basta Cosa ci interessa? • Informazioni locali (nel senso di intorni, anche di ±∞); • informazioni globali (l’intero grafico). 6 Informazioni globali Facciamo una scaletta (solo indicativa: non siamo troppo “rigidi”. • Dominio • Intersezioni • Simmetrie • Asintoti • Intervalli di monotonia • Massimi e minimi locali • Concavità e punti di flesso • Disegno del grafico qualitativo di f 7 Esempio. Studiamo il grafico della funzione x x2 − 1 f (x) = • Non si specifica il dominio, il più grande dominio dove l’espressione di f (x) abbia senso è dom(f ) = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞). • L’equazione f (x) = 0 ha un unica soluzione x = 0 che fornisce l’unica intersezione con gli assi coordinati. • La funzione risulta essere dispari f (x) = −f (−x). • I limiti interessanti (per punti di accumulazione estremi di intervalli contenuti nel dominio) lim x→+∞ x2 x = 0, −1 x = −∞, −1 lim− x2 lim+ x = +∞. x2 − 1 x→1 x→1 • La retta di equazione y = 0 è un asintoto orizzontale, mentre la retta di equazione x = 1 e la retta di equazione x = −1 sono asintoti verticali. • A questo punto sarebbe possibile un primo schizzo del grafico ... 8 Primo schizzo del grafico di f −1 +1 0 Figura 4.3: Prima bozza del grafico di f (x) = x/(x2 −1) dalle prime informazioni sulla f . • Calcoliamo la derivata prima −x2 − 1 1 · (x2 − 1) − x · (2x) = 2 , x 6= ±1. f (x) = (x2 − 1)2 (x − 1)2 0 Il denominatore è sempre positivo mentre il numeratore è sempre negativo. La derivata prima è sempre strettamente negativa: le restrizioni della f in ogni intervallo componente il dominio sono strettamente decrescenti. Attenzione: parliamo di restrizioni non dell’intera funzione. Non vi sono punti stazionari. • Calcoliamo la derivata seconda f 00 (x) = −2x · (x2 − 1)2 − (−x2 − 1) · 4x · (x2 − 1) 2x3 + 6x = . (x2 − 1)4 (x2 − 1)3 .... 9 • Lo studio del segno della derivata seconda è riassunto nella seguente tabella La funzione risulta essere concava negli interx 0 −1 1 x(2x2 + 6) −− −− ++ ++ (x2 − 1)3 ++ −− −− ++ f 00 −− ++ −− ++ f _ ^ _ ^ 0 −1 1 Tabella 4.1: Studio del segno della derivata seconda. valli (−∞, −1) e (0, 1) (separatamente) e convessa negli intervalli (−1, 0) e (1, +∞) (separatamente). Il punto x = 0 risulta essere un punto di flesso. 10 Da tutte le informazioni raccolte deduciamo il grafico qualitativo della funzione f . Provare con le funzioni analizzate nel testo (prima y 0 −1 1 x Figura 4.4: Grafico qualitativo della funzione f (x) = x/(x2 − 1). provare poi confrontare ...) f2 (x) = x ln x, f3 (x) = cos x + 11 1 2 sin 2x, f4 (x) = xe−x . 2 Approssimazioni locali: polinomio di Taylor Idea: sostituire localmente ad una funzione complicata f una sua approssimazione “semplice” (per esempio polinomiale) Esempio: tra tutte le retti passanti per il punto (x0 , f (x0 )) del grafico di una funzione f , la retta tangente rappresenta l’approssimazione migliore della curva f (x) vicino al punto x0 . Questo ovviamente vale per le funzioni derivabili. Vogliamo approssimazioni migliori con polinomi di grado più elevato. Per esempio: tra tutte le parabole quale approssima meglio localmente? Fatto essenziale: la regolarità della funzione f (in relazione al grado del polinomio). 12 Il polinomio migliore dovrà condividere localmente alcune proprietà (geometriche) della funzione f . Teorema 4.4 (Teorema di Taylor) Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile n volte in x0 ∈ (a, b), allora esiste ed è unico il polinomio Tn (x) di grado ≤ n tale che f (k) (x0 ) = Tn(k) (x0 ), k = 0, ..., n. Se inoltre f è derivabile n + 1 volte in (a, b), escluso al più il punto x0 , per ogni x ∈ (a, b) esiste un c compreso tra x0 e x tale che En (x) = f (x)−Tn (x) = f (n+1) (c) (x−x0 )n+1 (n + 1)! (resto di Lagrange). Nota: nel caso in cui x0 si parla di polinomio di Mac Laurin. Applicazioni: valutazione numerica di funzioni, forme indeterminate, metodi numerici, ... 2 n=5 n=1 1.5 1 0.5 sin(x) 0 −0.5 n=3 −1 n=7 −1.5 −2 0 1 2 3 4 5 6 7 Figura 4.5: Alcuni polinomi di Taylor per la funzione f (x) = sin x centrati in x0 = 0. 13