Lezioni da Matematica I Calcolo differenziale, Algebra

Lezioni da Matematica I
Calcolo differenziale, Algebra lineare,
Probabilità e statistica
G. Aletti & G. Naldi & L. Pareschi
http://www.ateneonline.it/naldi matematica
McGraw-Hill
Capitolo 4, Grafici di funzioni e approssimazioni
1
Derivate di ordine superiore
Analizziamo il limite del seguente rapporto incrementale
f 0 (x + h) − f 0 (x)
.
h→0
h
lim
Nel caso in cui tale limite esiste si chiama derivata seconda di f in
x0 e si indica con f 00 (x0 ) o con uno sei seguenti simboli
d2
df ¯¯
f (2) (x0 ),
f
(x
),
.
¯
0
dx2
dx2 x=x0
Il processo potrebbe continuare per n volte portando alla definizione
della derivata n-esima di f
f (n) ,
dn f
, y (n) .
dxn
Si dice anche che f (n) è la derivata di ordine n di f , per convenzione
f (0) = f .
f → f 0 → f 00 → ...
Esempio:
f (x) = sin x + x2 → f 0 (x) = cos x + 2x → f 00 (x) = − sin x + 2 ...
2
Derivata seconda e convessità
Teorema 4.1 Sia f : (a, b) → R, f derivabile due volte in (a, b),
allora f è convessa (concava) se e solo se f 00 (x) ≥ 0 (f 00 (x) ≤ 0)
per ogni x in (a, b).
Cosa succede se cambia concavità?
Definizione 4.1 (Punto di flesso) Sia f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b)
un punto in cui esiste la derivata (finita o meno). Il punto x0 si
dice di flesso se esiste un intorno destro di x0 in cui f è convessa
(concava) e un intorno sinistro di x0 in cui f è concava (convessa).
x4−4 x3
4 x3−12 x2
0
40
−10
30
20
−20
10
−30
0
−40
−10
−50
−20
−60
−30
−2
−1
0
1
2
3
−2
−1
0
x
1
2
3
2
3
x
2
12 x −24 x
24 x−24
100
40
80
20
60
0
40
−20
20
−40
0
−60
−20
−2
−1
0
1
2
−80
−2
3
x
−1
0
1
x
Figura 4.1: Grafico di f (x) = x4 − 4x3 e delle derivate f 0 (x), f 00 (x), f (3) (x).
3
Test della derivata seconda
Teorema 4.2 Sia f : (a, b) → R, una funzione derivabile due volte
in (a, b), x0 ∈ (a, b) punto stazionario, f 0 (x0 ) = 0,
i) se f 00 (x0 ) > 0, allora f ha un minimo locale in x0 ;
ii) se f 00 (x0 ) < 0, allora f ha un massimo locale in x0 .
Punto di massimo locale
Punto di minimo locale
f′ (x 0 )=0
f′ ′ (x 0 )<0
f′ ′ (x0 )>0
f′ (x 0 )=0
x
0
x0
x
Figura 4.2: Convessità/concavità e punto stazionario danno un punto di minimo
o un punto di massimo locale.
4
x
Uno strumento di calcolo
Teorema 4.3 (Regola di De l’Hôpital) Siano −∞ ≤ a < b ≤
+∞
e
f, g : (a, b) → R due funzioni tali che
i) limx→a+ f (x) = limx→a+ g(x) = 0 (oppure +∞, oppure −∞);
ii) f, g derivabili in (a, b), g 0 (x) 6= 0 per x ∈ (a, b);
iii) esiste il limite (finito o infinito)
lim+
x→a
f 0 (x)
=L
g 0 (x)
allora esiste anche il limite
lim+
x→a
f (x)
= L.
g(x)
Quando si usa: forme indeterminate
Attenzione agli abusi
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Grafico di una funzione
Andar per punti ... non basta
Cosa ci interessa?
• Informazioni locali (nel senso di intorni, anche di ±∞);
• informazioni globali (l’intero grafico).
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Informazioni globali
Facciamo una scaletta (solo indicativa: non siamo troppo “rigidi”.
• Dominio
• Intersezioni
• Simmetrie
• Asintoti
• Intervalli di monotonia
• Massimi e minimi locali
• Concavità e punti di flesso
• Disegno del grafico qualitativo di f
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Esempio.
Studiamo il grafico della funzione
x
x2 − 1
f (x) =
• Non si specifica il dominio, il più grande dominio dove l’espressione di f (x) abbia senso è
dom(f ) = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, +∞).
• L’equazione f (x) = 0 ha un unica soluzione x = 0 che fornisce
l’unica intersezione con gli assi coordinati.
• La funzione risulta essere dispari
f (x) = −f (−x).
• I limiti interessanti (per punti di accumulazione estremi di
intervalli contenuti nel dominio)
lim
x→+∞ x2
x
= 0,
−1
x
= −∞,
−1
lim−
x2
lim+
x
= +∞.
x2 − 1
x→1
x→1
• La retta di equazione y = 0 è un asintoto orizzontale, mentre
la retta di equazione x = 1 e la retta di equazione x = −1 sono
asintoti verticali.
• A questo punto sarebbe possibile un primo schizzo del grafico
...
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Primo schizzo del grafico
di f
−1
+1
0
Figura 4.3: Prima bozza del grafico di f (x) = x/(x2 −1) dalle prime informazioni
sulla f .
• Calcoliamo la derivata prima
−x2 − 1
1 · (x2 − 1) − x · (2x)
= 2
, x 6= ±1.
f (x) =
(x2 − 1)2
(x − 1)2
0
Il denominatore è sempre positivo mentre il numeratore è sempre negativo. La derivata prima è sempre strettamente negativa: le restrizioni della f in ogni intervallo componente il
dominio sono strettamente decrescenti.
Attenzione: parliamo di restrizioni non dell’intera funzione.
Non vi sono punti stazionari.
• Calcoliamo la derivata seconda
f 00 (x) =
−2x · (x2 − 1)2 − (−x2 − 1) · 4x · (x2 − 1)
2x3 + 6x
=
.
(x2 − 1)4
(x2 − 1)3
....
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• Lo studio del segno della derivata seconda è riassunto nella
seguente tabella La funzione risulta essere concava negli interx
0
−1
1
x(2x2 + 6)
−−
−−
++
++
(x2 − 1)3
++
−−
−−
++
f 00
−−
++
−−
++
f
_
^
_
^
0
−1
1
Tabella 4.1: Studio del segno della derivata seconda.
valli (−∞, −1) e (0, 1) (separatamente) e convessa negli intervalli (−1, 0) e (1, +∞) (separatamente). Il punto x = 0 risulta
essere un punto di flesso.
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Da tutte le informazioni raccolte deduciamo il grafico qualitativo
della funzione f . Provare con le funzioni analizzate nel testo (prima
y
0
−1
1
x
Figura 4.4: Grafico qualitativo della funzione f (x) = x/(x2 − 1).
provare poi confrontare ...)
f2 (x) = x ln x, f3 (x) = cos x +
11
1
2
sin 2x, f4 (x) = xe−x .
2
Approssimazioni locali: polinomio di Taylor
Idea: sostituire localmente ad una funzione complicata f una sua
approssimazione “semplice” (per esempio polinomiale)
Esempio: tra tutte le retti passanti per il punto (x0 , f (x0 )) del
grafico di una funzione f , la retta tangente rappresenta l’approssimazione migliore della curva f (x) vicino al punto x0 . Questo ovviamente vale per le funzioni derivabili.
Vogliamo approssimazioni migliori con polinomi di grado più elevato.
Per esempio: tra tutte le parabole quale approssima meglio localmente?
Fatto essenziale: la regolarità della funzione f (in relazione al grado
del polinomio).
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Il polinomio migliore dovrà condividere localmente alcune proprietà (geometriche) della funzione f .
Teorema 4.4 (Teorema di Taylor) Sia f : (a, b) → R una funzione derivabile n volte in x0 ∈ (a, b), allora esiste ed è unico il
polinomio Tn (x) di grado ≤ n tale che
f (k) (x0 ) = Tn(k) (x0 ), k = 0, ..., n.
Se inoltre f è derivabile n + 1 volte in (a, b), escluso al più il punto
x0 , per ogni x ∈ (a, b) esiste un c compreso tra x0 e x tale che
En (x) = f (x)−Tn (x) =
f (n+1) (c)
(x−x0 )n+1
(n + 1)!
(resto di Lagrange).
Nota: nel caso in cui x0 si parla di polinomio di Mac Laurin.
Applicazioni: valutazione numerica di funzioni, forme indeterminate, metodi numerici, ...
2
n=5
n=1
1.5
1
0.5
sin(x)
0
−0.5
n=3
−1
n=7
−1.5
−2
0
1
2
3
4
5
6
7
Figura 4.5: Alcuni polinomi di Taylor per la funzione f (x) = sin x centrati in
x0 = 0.
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