Geometrie non euclidee
2. Assioma di Rieman
La geometria sferica e la geometria ellittica sono geometrie non euclidee in quanto, come la geometria iperbolica, negano il quinto
postulato, ossia l'esistenza della parallela. Esse si fondano sul seguente assioma.
Assioma di Rieman: In un piano, qualsiasi retta passante per un punto dato incontra qualsiasi altra retta data.
Occorre però precisare che la semplice sostituzione dell'assioma delle parallele con l'assioma di Riemann conduce a un sistema assiomatico
contraddittorio. Per assumere l'assioma di Riemann è necessario pertanto apportare modifiche a tutto il sistema assiomatico della geometria
che non prevede l'esistenza di rette parallele, come si può meglio comprendere analizzando l'esempio seguente.
C
E
Esempio: Nella proposizione 2 degli Elementi, Euclide afferma che in ogni triangolo un angolo
esterno è maggiore di ciascuno degli angoli interni non adiacenti. Dimostriamo la proposizione.
β
Consideriamo il triangolo ABC (figura). Sia M il punto medio del lato CB; congiungiamo A con
M
α
M e prolunghiamo il segmento AM di una quantità pari a se stesso sino al punto E.
α
Congiungiamo il punto E con il vertice B. I triangoli AMC e BME sono congruenti per il primo
criterio di congruenza dei triangoli. Infatti:
β
AM ≅ ME per costruzione;
CM ≅ MB perché M è punto medio di CB;
A
B
D
CMA ≅ BME perché opposti al vertice.
Pertanto, anche gli angoli ACM ed EBM sono congruenti. L'angolo esterno CBD è maggiore dell'angolo CBE, in esso contenuto, e quindi
anche dell'angolo ACB. Analogamente si dimostra che l'angolo esterno CBD è maggiore anche dell'angolo interno CAB. La dimostrazione
condotta si basa sull'esistenza del punto E interno all'angolo CBD. Può accadere che, prolungando il segmento AM, si interseca il lato AD in
modo che il punto E stia nel semipiano individuato da AD che non contiene il triangolo ABC? In questo caso l'angolo CBE sarebbe
maggiore dell'angolo CBD e la proposizione risulterebbe falsa. Oppure, può accadere che, prolungando il segmento AM, questo si richiuda
su se stesso in modo che il punto E venga a trovarsi su AM o sul prolungamento di AM nel verso opposto? In geometria euclidea non c'è
ragione di porre queste domande, perché il primo e il secondo postulato consentono di affermare che due rette non possono comprendere
un'area finita e che una retta è indefinitamente prolungabile.
P
B
A
r
P'
Figura R1
P
B
A
r
P'
Consideriamo ora una retta r nel piano e tracciamo due rette ad essa perpendicolari nei suoi punti A e B. Se
vale l'assioma di Riemann, le due perpendicolari si devono incontrare almeno in un punto P, dato che in
questa nuova geometria non esistono rette parallele (figura R1).
Costruiamo la semiretta opposta a quella che contiene il punto P e su di essa stacchiamo il segmento AP'
congruente ad AP. Congiungiamo P con B e P' con B. I due triangoli PAB e P'AB sono congruenti in quanto
hanno: PA ≅ P'A per costruzione, BA in comune, gli angoli p AB e P'AB entrambi retti. I tre punti A, P' e P
sono quindi allineati.
Possiamo ora distinguere due casi:
1. i punti P e P' sono distinti. Per P e P' passano allora almeno due rette distinte, contraddicendo il
postulato di Euclide secondo cui per ogni coppia di punti distinti passa una e una sola retta;
2. il punto P coincide con il punto P'. In questo caso avendo supposto che A debba stare tra P e P'
viene contraddetto l'assioma di ordinamento per il quale i due punti non potrebbero coincidere.
A seconda che si opti per il primo o per il secondo dei due casi precedenti si costruiscono due geometrie
di Riemann, rispettivamente la geometria sferica e la geometria ellittica, nelle quali la retta si comporta
sempre come una linea chiusa, avente cioè lunghezza finita pur essendo illimitata, dato che la si può
sempre percorrere senza mai fermarsi.
Nella geometria di Riemann, sferica o ellittica, è necessario ridefinire il concetto di ordinamento rispetto
a quello usuale euclideo. Infatti lungo una linea chiusa non ha senso stabilire, per esempio, tra tre punti A,
B, C quale "stia" fra gli altri due, come accade con gli ordinamenti lineari della geometria euclidea
ordinaria.
Per sviluppare la geometria sferica occorre anche supporre che vi siano delle coppie di punti per i quali
passino più rette. In geometria ellittica ciò non occorre, perché si suppone che il punto P coincida con il
punto P'.
Gli sviluppi della geometria sferica sono simili a quelli della geometria ellittica a cui dedicheremo
maggiore attenzione.
D
C
h
P''
s
Figura R2
3. Geometria sferica di Riemann
La geometria sferica può essere definita come la geometria dei punti dei circoli massimi su una sfera. I
circoli massimi sono le rette della geometria sferica. Pertanto in geometria sferica le rette sono linee
chiuse.
Per l'assioma di Riemann, due rette qualsiasi in un piano hanno sempre almeno un punto in comune.
Quindi se consideriamo una retta r nel piano e tracciamo due perpendicolari nei suoi punti A e B, queste
si dovranno incontrare in un punto P.
1
Geometrie non euclidee
Consideriamo ora un punto P' appartenente alla semiretta opposta ad AP tale che AP ≅ AP' (figura R2). I triangoli PAB e P'AB sono
congruenti, avendo PA ≅ P'A, AB in comune e gli angoli in A retti. Pertanto, anche gli angoli P'BA e PBA sono congruenti e uguali a un
angolo retto.
Per verificare che le rette sono chiuse, riportiamo sulla retta PA = s, a partire dal punto P', un segmento P'C ≅ P A. Per il punto C tracciamo
la perpendicolare h alla retta s e riportiamo un segmento CD ≅ AB. I triangoli P'AB e P'CD sono congruenti per il primo criterio. Quindi
anche l'angolo P'DC è retto. Costruiamo ora il punto P'' tale che CP" ≅ CP'. Per i punti P' e P" passano almeno due rette (P'CP" e P'DP");
P" e P' sono i due punti diametralmente opposti in cui si incontrano le due linee. Poiché anche P' e P sono diametralmente opposti, P deve
coincidere con P". Pertanto la retta è chiusa {se P' è contemporaneamente opposto diametralmente sia a P che P'' allora occorre che P e P''
coincidano}.
Le principali proprietà della geometria sferica, di cui omettiamo la dimostrazione, sono elencate di seguito:
1. due linee si intersecano in due punti diametralmente opposti detti punti antipodali;
2. per ogni coppia di punti non antipodali passa una e una sola retta;
3. esiste un'unità naturale per la misura degli angoli costruita sul concetto di rivoluzione, un'unità naturale di misura della lunghezza
costruita sulla circonferenza del circolo massimo, e un'unità di misura dell'area costruita sulla base della superficie della sfera;
4. ogni linea ha due punti antipodali come suoi poli; essi sono l'intersezione comune dell'insieme delle rette perpendicolari a una retta
data;
5. ogni punto ha una sola linea polare che è la retta del piano passante per il centro della sfera e perpendicolare al diametro passante per
il punto dato.
Per i triangoli i cui lati sono archi appartenenti ai circoli massimi valgono anche le seguenti proprietà:
6. la somma degli angoli interni di un triangolo è maggiore di due angoli retti e minore di sei angoli retti;
7. l'area del triangolo è proporzionale alla differenza, detta anche eccesso, tra la somma dei suoi angoli interni e due angoli retti;
8. due triangoli aventi la medesima somma degli angoli interni hanno la stessa area;
9. esiste un limite superiore alla misura dell'area;
10. il prodotto di due simmetrie ortogonali può essere considerato come una rotazione ,attorno a entrambi i punti di intersezione degli assi;
11. due triangoli sono congruenti se e solo se essi si corrispondono in un numero finito di simmetrie;
12. due triangoli con angoli corrispondenti congruenti sono congruenti.
La geometria sferica deriva il suo nome dal fatto che essa possiede un'interpretazione immediata nella geometria euclidea, presentandosi
come un sistema geometrico che descrive la geometria di una superficie sferica dell'ordinario spazio euclideo. Un modello per la geometria
sferica è pertanto il seguente, secondo il quale:
• il piano è l'insieme dei punti di una superficie sferica nello spazio euclideo;
B
C
• il punto è la coppia di punti diametralmente opposti sulla superficie sferica
B
(figura R3);
A
• la retta è il cerchio massimo della superficie sferica, ossia il cerchio
A
D
intersezione della superficie sferica con un qualsiasi piano passante per il
centro della sfera (figura R4).
Figure R3 – R4
In base a questo modello è relativamente intuitivo interpretare alcune delle proposizioni
che abbiamo già elencato. In particolare si può verificare che:
• per un punto passano infinite rette: infatti, per due punti antipodali passano infiniti cerchi massimi perché ogni piano passante per
la retta che unisce i punti diametralmente opposti della sfera la taglia secondo un cerchio massimo passante per i due punti (figura
R5);
• per ogni coppia di punti distinti passa una sola retta: infatti, per due punti non antipodali passa un solo cerchio massimo poiché i
due punti della sfera individuano, con il centro, un unico piano che taglia sulla sfera un cerchio massimo passante per due punti
(figura R6);
• due rette si incontrano sempre, come stabilisce l’assioma di Riemann;
infatti, due cerchi massimi sono individuati da due piani passanti per il centro della sfera e hanno quindi come intersezione una retta
che taglia la sfera in due punti antipodali comuni alle due rette (figura)R7;
B
A
D
A
C
D
B
A
C
B
Figure R5 – R6 – R7
4. Geometria ellittica di Riemann
In geometria ellittica valgono i seguenti teoremi, di cui omettiamo la dimostrazione:
2
Geometrie non euclidee
tutte le rette hanno la stessa lunghezza 2δ, con δ = d(A,P) (vedi precedente figura R1);
tutte le perpendicolari a una retta concorrono in un punto;
se P è un punto del piano, il luogo dei punti del piano che si trovano a distanza δ da P è una retta perpendicolare a tutte le rette
passanti per P; si definisce, inoltre, polo il punto P in cui concorrono tutte le perpendicolari a una retta r, detta retta polare del
punto P;
• in un triangolo rettangolo l'angolo opposto a uno dei lati dell'angolo retto è acuto, retto, ottuso a seconda che il lato sia minore,
congruente o maggiore di δ;
• la somma degli angoli interni di un triangolo rettangolo è maggiore di due angoli retti.
Anche per la geometria ellittica è possibile costruire un modello.
Consideriamo un punto O dello spazio euclideo che chiamiamo stella di centro O l'insieme di tutte le rette e di tutti i piani passanti per O.
Secondo questo modello:
• piano è l’insieme delle rette della stella di centro O;
• punto è ogni retta della stella di centro O;
• retta è ogni piano della stella di centro O.
Con l’utilizzo di questo modello gli assiomi della geometria ellittica diventano proposizioni dimostrabili nella geometria euclidea della
stella di rette e piani.
•
•
•
Esempio: 1. Due rette si incontrano sempre in un punto.
Infatti, due rette r ed s, cioè due piani della stella di centro O, hanno in comune il punto O e quindi hanno in comune anche una retta
passante per O, cioè un punto. L'assioma di Riemann è pertanto soddisfatto.
2. Per due punti distinti passa una e una sola retta.
Infatti, dati due punti A e B, cioè due rette della stella di centro O, esiste uno e un solo piano appartenente alla stella che contiene le due
rette, cioè una sola retta passante per i due punti dati A e B.
A'
A
Figura R8
Per rendere più chiaro questo modello si può intersecare la stella di centro O con una sfera, sempre di centro O, e
reinterpretare i concetti della geometria ellittica, anziché come elementi della stella, come le intersezioni di questi
elementi con la superficie sferica (figura R8). In questo caso, un punto diventa una coppia di punti diametralmente
opposti, le rette sono ancora cerchi massimi della superficie sferica, mentre i segmenti sono una coppia di archi di
cerchio massimo diametralmente opposti.
ATTENZIONE: Due punti opposti costituiscono un solo punto e non devono essere confusi con i due punti
antipodali della geometria sferica.
Il modello è ulteriormente modificabile. La stella di centro O può essere intersecata con una semisfera di centro O.
In questo caso le rette della stella intersecano la semisfera in un solo punto (eccetto quelle che intersecano il cerchio
massimo).
Secondo quest'ultima interpretazione, la geometria ellittica viene a coincidere con la geometria su una superficie semisferica.
Tra la geometria sferica e la geometria ellittica sussiste uno stretto legame che si evidenzia se si considerano le proprietà della geometria
sferica che valgono in zone ristrette di un piano. In particolare, se non si considerano l'intero piano sferico o l'intero piano ellittico e ci si
limita a considerazioni di carattere locale le due teorie coincidono.
Non si deve, tuttavia, interpretare questo fatto intendendo che non vi sono differenze nel comportamento dell'intero spazio.
Esiste un'altra importante proprietà, descritta nell'esempio che segue, che differenzia la geometria ellittica da quella sferica e dalla
geometria euclidea.
Questa caratteristica del piano ellittico non si riscontra né sul piano sferico né su quello euclideo. In geometria sferica o euclidea,
comunque si muova un cerchio restando nel piano in cui è assegnato inizialmente, non si può invertire il verso prefissato di percorrenza
senza far ruotare il cerchio nello spazio, mentre in geometria ellittica si può invertire il senso di percorrenza senza far ruotare il cerchio. Per
evidenziare questa differenza si dice che il piano ellittico è una superficie unilatera, mentre il piano sferico e il piano euclideo sono
superfici bilatere.
Esempio: Una superficie unilatera è il nastro di Moebius ottenuto da una striscia rettangolare ABCD incollata in modo che il vertice A
coincida con C e il vertice B con D, grazie a una torsione della striscia medesima (figura dx)
Due individui che si trovano su parti opposte di una superficie bilatera non possono mai incontrarsi finché si muovono sulle due facce,
mentre su una superficie unilatera si possono incontrare. La stessa striscia ABCD incollata senza torsioni in modo che B coincida con C e A
con D realizza una superficie bilatera (figura sx).
B
C
A
D
B≡C
A≡D
B≡C
A≡D
3
