Programma - Dipartimento di Matematica

dipartimento di
farmacia-scienze del farmaco
Corso di Studi in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche (DM 270) - a.a. 2014-15
NOME INSEGNAMENTO MATEMATICA
ANNO DI CORSO 2014-2015 SEMESTRE I CFU 7
Docente titolare del corso
Docente titolare del corso di
laboratorio (A-H)
Docente titolare del corso di
laboratorio (I-Z)
Canale
Cognome Nome
Lucente Sandra
e-mail
[email protected]
Telefono
0805442275
Ruolo
Ricercatrice
Ubicazione
Dipartimento Matematica
Programma del corso di insegnamento:
INSIEMI NUMERICI Logica: connettivi e quantificatori. Insiemi e operazioni sugli insiemi. Insiemi
numerici. Allineamenti decimali. Gli assiomi di campo per i numeri reali. I forma dell’assioma di
completezza. Esempio di numero irrazionale. Unicità del max e del min di un insieme. Maggioranti
minoranti di insiemi limitati superiormente e inferiormente, II forma assioma di completezza.
Proprietà caratteristiche del sup e dell’inf. Definizione di intervallo; intervalli di R. Proprietà
archimedea, densità di Q in R. Principio di induzione, Disuguaglianza di Bernoulli. Cenno ai numeri
complessi
FUNZIONI Definizione di funzione e grafico di una funzione, grafico sul piano cartesiano, esempi.
Immagine diretta, surgettività, estremi inferiore e superiore di una funzione. Immagine reciproca,
ingettività. Bigettività ed invertibilità di una funzione. Funzioni monotone. Composizione di
funzioni. Funzioni pari, dispari e periodiche. Traslazioni e dilatazioni e visualizzazione grafica.
Funzioni elementari e proprietà: valore assoluto e disuguaglianza triangolare, potenza naturale, radice
naturale, costruzione della potenza reale, funzione esponenziale e logaritmica. Trigonometria e
funzioni trigonometriche dirette ed inverse con relative proprietà. Equazioni e disequazioni.
SUCCESSIONI I concetti di intorno sferico, insieme intorno di un punto, punto di accumulazione,
punto isolato, insieme derivato, Derivato di Q e di N. Idea di limite mediante metodo di esaustione.
Successioni: successioni monotone, limitate, convergenti, infinitesime, divergenti, non regolari.
Teorema di unicità del limite e di limitatezza delle successioni convergenti, esempi. Proprietà vere
definitivamente. Teoremi sulle operazioni sui limiti. Forme indeterminate. Valore assoluto di
successioni infinitesime. Teorema della permanenza del segno e conservazione delle disuguaglianze.
Teoremi di confronto. Teorema di regolarità delle successioni monotone. Limiti notevoli che
coinvolgono funzioni razionali e irrazionali. Alcune importanti disuguaglianze trigonometriche.
Limiti notevoli trigonometrici. Numero di Nepero. Limiti notevoli che coinvolgono il numero di
Nepero. Successioni estratte, teorema di regolarità della estratta di una successione regolare e
corollari, teorema di Bolzano-Weierstrass. Criterio del rapporto e scala di infiniti.
LIMITE DI FUNZIONI E FUNZIONI CONTINUE Definizione di limite di funzioni mediante limite
di successioni. Equivalenza con la definizione mediante intorni. Limiti a destra e a sinistra.
Via Orabona 4 - Campus Universitario - 70125 Bari (Italy)
Direzione: Tel. (+39) 080 544 2784
[email protected]
Segreteria: Tel. (+39) 080 544 2045
Fax (+39) 080 544 2050
C.F. 80002170720 - P. IVA 01086760723
Operazioni sui limiti. Teorema sul limite della composta. Teorema del limite per funzioni monotone.
Alcuni limiti notevoli trigonometrici, esempi di nonesistenza del limite.
Continuità e classificazione delle discontinuità. Continuità delle funzioni elementari. Teorema della
permanenza del segno per funzioni continue. Teorema degli zeri. Teorema di Bolzano. Criterio di
invertibilità. Criterio di continuità delle funzioni monotone e continuità dell’inversa. Funzioni
uniformemente continue e confronto con le funzioni continue, esempi di funzioni continue non
uniformemente. Teorema di Cantor. Funzioni Lipschitziane.
CALCOLO DIFFERENZIALE Funzioni variazione e rapporto incrementale, derivabilità,
derivabilità a destra e sinistra. Significato geometrico della derivata. Continuità delle funzioni
derivabili. Derivata delle funzioni elementari. Esempi di non derivabilità. La derivata è lineare.
Derivata del prodotto e del quoziente di funzioni. Derivata delle funzioni composte e della funzione
inversa. Punti di estremo locale. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Fermat, Rolle,
Lagrange, Cauchy, De L'Hôpital. Criterio di monotonia e di stretta monotonia. Funzioni a derivata
prima limitata. Funzioni convesse su intervalli, flessi. Caratterizzazione. Asintoti e studio di funzione
La notazione o(g), proprietà degli ordini di infinitesimo. Polinomio di Taylor, significato. Formula di
Taylor con il resto di Peano. Sviluppi di McLaurin per le funzioni elementari. Esercizi sui limiti con
la formula di Taylor. Formula di Taylor con resto di Lagrange. Applicazione della formula di Taylor
per la determinazione dei massimi e minimi relativi.
LE FUNZIONI INTEGRABILI SECONDO RIEMANN E IL CALCOLO INTEGRALE Partizioni e
relazione d’ordine, proprietà. Somme superiori, somme inferiori, le somme superiori ed inferiori
costituiscono due insiemi separati. Definizione integrale superiore, integrale inferiore, definizione di
funzione integrabile. Esempi e controesempio di Dirichlet. Funzioni integrabili secondo Riemann:
teorema di caratterizzazione. Proprietà dell'integrale di Riemann: additività, linearità, positività e
conseguenze. Teoremi di integrabilità delle funzioni continue e della media integrale. Primitive e
integrale indefinito. Teorema di struttura dell’integrale indefinito. Teorema e formula fondamentale
del calcolo integrale. Integrali immediati. Integrazione per parti. Integrazione di funzioni razionali
con denominatore di secondo grado. Integrazione per sostituzione,
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI (EDL) E NON LINEARI (EDNL) Equazioni
differenziali, problema di Cauchy. Teorema di rappresentazione dell’integrale generale di EDL
omogenee e non omogenee. Costruzione dell’integrale generale di EDL del primo ordine. EDNL del
primo ordine: equazioni di Bernoulli e a variabili separabili. Esempio di nonunicità e di dominio non
massimale. Lemma di Gronwall e teorema di unicità per EDL del secondo ordine a coefficienti
costanti omogenee. Costruzione dell’integrale generale di EDL del secondo ordine a coefficienti
costanti omogenee. Costruzione dell’integrale generale di EDL del secondo ordine a coefficienti
costanti non omogenee con metodo della variazione delle costanti arbitrarie e con metodo di
simiglianza. Applicazioni ad alcuni modelli fisici e modelli di dinamica delle popolazioni.
Testi consigliati
P. Marcellini & C. Sbordone –Elementi di Analisi Matematica 1– Liguori Editore, Napoli.
P. Marcellini & C. Sbordone – Esercizi di Matematica Vol. 1, Vol. 2, Tomo 2 – Liguori Editore,
A. Alvino, C. Carbone, G. Trombetti Esercitazioni di matematica Vol 1/1 Vol 1/2 Liguori Editore.
Dispense del docente del corso:
http://www.dm.uniba.it/~lucente/didattica/appuntiA12/appuntiA12.htm
Tipo di esame
Scritto: Esercizi su Limiti, Studio di Funzioni, Integrali, Equazioni differenziali
Orale: discussione del compito, interrogazione su definizioni, teoremi e dimostrazioni,
esempi contenuti nel programma