Programma - Dipartimento di Matematica

Dipartimento di Farmacia - Corso di Laurea in C.T.F
Programma del corso di Matematica
A.A. 2012-2013 – Titolare: Dott.ssa Sandra Lucente
INSIEMI NUMERICI
Logica: connettivi e quantificatori. Insiemi e operazioni sugli insiemi.
Insiemi numerici. Allineamenti decimali. Teorema: x^2=2 non ha soluzioni in Q.
Gli assiomi di campo per i numeri reali. I forma dell’assioma di completezza. Unicità dello zero e altre
proprietà. Unicità del massimo e del minimo di un insieme. Maggioranti minoranti di insiemi limitati
superiormente e inferiormente, II forma assioma di completezza
Proprietà caratteristiche del sup e dell’inf. Definizione di intervallo; intervalli di R. Proprietà archimedea,
densità di Q in R. Principio di induzione, Disuguaglianza di Bernoulli. Cenno ai numeri complessi
FUNZIONI
Definizione di funzione e grafico di una funzione, grafico sul piano cartesiano, esempi. Immagine diretta,
surgettività, estremi inferiore e superiore di una funzione. Immagine reciproca, ingettività. Bigettività ed
invertibilità di una funzione. Funzioni monotone. Composizione di funzioni. Funzioni pari, dispari e
periodiche. Traslazioni e dilatazioni e visualizzazione grafica. Funzioni elementari e proprietà: valore
assoluto e disuguaglianza triangolare, potenza naturale, radice naturale, costruzione della potenza reale,
funzione esponenziale e logaritmica. Trigonometria e funzioni trigonometriche dirette ed inverse con
relative proprietà. Equazioni e disequazioni.
SUCCESSIONI
I concetti di intorno sferico, insieme intorno di un punto, punto di accumulazione, punto isolato, insieme
derivato, Derivato di Q e di N. Idea di limite mediante metodo di esaustione. Successioni, successioni
monotone, limitate, convergenti, infinitesime, divergenti, non regolari. Teorema di unicità del limite e di
limitatezza delle successioni convergenti, esempi. Proprietà vere definitivamente. Teoremi sulle operazioni
sui limiti. Forme indeterminate. Valore assoluto di successioni infinitesime. Teorema della permanenza del
segno e conservazione delle disuguaglianze. Teoremi di confronto. Teorema di regolarità delle successioni
monotone. Limiti notevoli che coinvolgono funzioni razionali e irrazionali. Alcune importanti disuguaglianze
trigonometriche. Limiti notevoli trigonometrici. Numero di Nepero. Limiti notevoli che coinvolgono il
numero di Nepero. Successioni estratte, teorema di regolarità della estratta di una successione regolare e
corollari, teorema di Bolzano-Weierstrass. Criterio del rapporto e scala di infiniti.
FUNZIONI CONVERGENTI E CONTINUE
Definizione di limite di funzioni mediante limite di successioni. Equivalenza con la definizione mediante
intorni. Limiti a destra e a sinistra. Operazioni sui limiti. Teorema sul limite della composta. Teorema del
limite per funzioni monotone. Alcuni limiti notevoli trigonometrici, esempi di nonesistenza del limite.
Continuità e classificazione delle discontinuità. Continuità delle funzioni elementari. Teorema della
permanenza del segno per funzioni continue. Teorema degli zeri. Teorema di Bolzano. Criterio di
invertibilità. Criterio di continuità delle funzioni monotone e continuità dell’inversa.
Funzioni uniformemente continue e confronto con le funzioni continue, esempi di funzioni continue non
uniformemente. Teorema di Cantor. Funzioni Lipschitziane.
CALCOLO DIFFERENZIALE
Funzioni variazione e rapporto incrementale, derivabilità, derivabilità a destra e sinistra. Significato
geometrico della derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Derivata delle funzioni elementari. Esempi di
non derivabilità. La derivata è lineare. Derivata del prodotto e del quoziente di funzioni. Derivata delle
funzioni composte e della funzione inversa.
Punti di estremo locale. Teoremi fondamentali del calcolo differenziale: Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy,
De L'Hôpital. Criterio di monotonia e di stretta monotonia. Funzioni a derivata prima limitata. Funzioni
convesse su intervalli, flessi. Caratterizzazione. Asintoti e studio di funzione
La notazione o(g), proprietà degli ordini di infinitesimo. Polinomio di Taylor, significato. Formula di Taylor
con il resto di Peano. Sviluppi di McLaurin per le funzioni elementari. Esercizi sui limiti con la formula di
Taylor. Formula di Taylor con resto di Lagrange. Applicazione della formula di Taylor per la determinazione
dei massimi e minimi relativi.
LE FUNZIONI INTEGRABILI SECONDO RIEMANN E IL CALCOLO INTEGRALE
Partizioni e relazione d’ordine, proprietà. Somme superiori, somme inferiori, le somme superiori ed
inferiori costituiscono due insiemi separati. Definizione integrale superiore, integrale inferiore, definizione
di funzione integrabile. Esempi e controesempio di Dirichlet. Funzioni integrabili secondo Riemann:
teorema di caratterizzazione. Proprietà dell'integrale di Riemann: additività, linearità, positività e
conseguenze. Teoremi di integrabilità delle funzioni continue e della media integrale. Primitive e integrale
indefinito. Teorema di struttura dell’integrale indefinito. Teorema e formula fondamentale del calcolo
integrale. Integrali immediati. Integrazione per parti. Integrazione di funzioni razionali con denominatore di
secondo grado. Fratti semplici. Integrazione per sostituzione,
Integrali generalizzati Regolarità nel caso di funzioni positive.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI (EDL) E NON LINEARI (EDNL)
Equazioni differenziale, problema di Cauchy. Teorema di rappresentazione dell’integrale generale di EDL
omogenee e non omogenee. Costruzione dell’integrale generale di EDL del primo ordine. EDNL del primo
ordine: equazioni di Bernoulli e a variabili separabili. Esempio di nonunicità e di dominio non massimale.
Lemma di Gronwall e teorema di unicità per EDL del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee.
Costruzione dell’integrale generale di EDL del secondo ordine a coefficienti costanti omogenee. Costruzione
dell’integrale generale di EDL del secondo ordine a coefficienti costanti non omogenee con metodo della
variazione delle costanti arbitrarie. Applicazioni ad alcuni modelli fisici e modelli matematici in dinamica
delle popolazioni.
DIMOSTRAZIONI
L’elenco delle dimostrazioni fatte a lezione si trova nel DIARIO DEL CORSO
TESTI DI RIFERIMENTO
P. Marcellini & C. Sbordone –Elementi di Analisi Matematica 1– Liguori Editore, Napoli.
P. Marcellini & C. Sbordone – Esercizi di Matematica Volume 1, Volume 2, Tomo 2 – Liguori Editore,
A. Alvino, C. Carbone, G. Trombetti Esercitazioni di matematica Vol 1/1 Vol 1/2 Liguori Editore.
Dispense del docente del corso: http://www.dm.uniba.it/~lucente/didattica/appuntiA12/appuntiA12.htm