FACOLTA' DI INGEGNERIA (C.L. in Ingegneria Meccanica II gruppo(C-L)) Programma del corso di Analisi Matematica I - a.a. 2006-2007 prof. Mariarosaria Tricarico NUMERI REALI: strutture algebriche: campi, campi ordinati; assioma di completezza; Insiemi separati e contigui: caratterizzazione; definizione assiomatica dell’insieme dei numeri reali; rappresentazione dei numeri reali; sistemi di riferimento sulla retta e nel piano, principio di induzione matematica. FUNZIONI ELEMENTARI: definizione e proprietà, grafici delle funzioni elementari, disequazioni; concetto di funzione, funzioni monotone e strettamente monotone, funzione inversa, funzione composta; insiemi di definizione delle funzioni composte. SUCCESSIONI: limite di una successione; prime proprietà dei limiti; limitatezza delle successioni convergenti, cenni sulle successioni estratte; operazioni con i limiti e forme indeterminate; successioni monotone, il numero "e"; criterio del rapporto e della radice (s.d.); punti di accumulazione; teorema di Bolzano; criterio di convergenza di Cauchy; insiemi chiusi, aperti e compatti. SERIE NUMERICHE: definizioni e prime proprietà; operazioni con le serie; serie geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata; criterio di Cauchy; serie a termini non negativi: criterio del rapporto, criterio della radice, criterio del confronto; serie a segni alterni e criterio di Leibnitz (s.d.); assoluta convergenza e proprietà. Criterio dell’integrale (s.d.). FUNZIONI: limiti di funzioni e relative proprietà; funzioni continue: funzioni monotone continue e loro caratterizzazione; continuità dell’inversa; classificazione delle discontinuità; funzioni composte: limite di una funzione composta; massimi e minimi assoluti: teorema di Weierstrass (s.d.); teorema degli zeri; funzioni uniformemente continue e teorema di Cantor (s.d.). CALCOLO DIFFERENZIALE: definizione di derivata e significato geometrico della derivata; regole di derivazione; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi relativi: condizione necessaria; teoremi di Rolle e Lagrange e conseguenze: crescenza e stretta crescenza in un intervallo, derivata negli estremi di un intervallo e discontinuità delle funzioni derivabili; teorema di Cauchy (s.d.), I e II teorema dell'Hospital (s.d.); calcolo dei limiti che si presentano in forma indeterminata; infinitesimi e infiniti: confronto, principio di cancellazione; formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange (s.d.); massimi e minimi relativi: condizioni sufficienti; concavità e convessità in un intervallo, condizione sufficiente (s.d.); flessi; asintoti; grafici di funzioni. CALCOLO INTEGRALE: integrazione indefinita e nozione di primitiva; cenni sulla misura di Peano-Jordan per gli insiemi limitati e non; misurabilità del rettangoloide; integrale di Riemann e proprietà; teorema della media integrale; integrale definito e proprietà; teorema fondamentale del Calcolo Integrale, formula fondamentale del calcolo integrale; regole di integrazione indefinita: integrazione per parti, integrazione per sostituzione; cenni sulla generalizzazione del concetto di integrale e sommabilità. Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati. BIBLIOGRAFIA: ALVINO -TROMBETTI, Elementi di Matematica I-Ed.Liguori MARCELLINI – SBORDONE, Analisi Matematica I, Liguori Editore E. GIUSTI, Analisi Matematica I-Ed.Boringhieri C. MIRANDA, Analisi Matematica I-Ed.Liguori ALVINO-CARBONE-TROMBETTI, Esercitazioni di Matematica I/1,2 - Ed.Liguori