progr analisi I Ing Mecc

FACOLTA' DI INGEGNERIA
(C.L. in Ingegneria Meccanica II gruppo(C-L))
Programma del corso di Analisi Matematica I - a.a. 2006-2007
prof. Mariarosaria Tricarico
NUMERI REALI: strutture algebriche: campi, campi ordinati; assioma di completezza;
Insiemi separati e contigui: caratterizzazione; definizione assiomatica dell’insieme dei
numeri reali; rappresentazione dei numeri reali; sistemi di riferimento sulla retta e nel
piano, principio di induzione matematica.
FUNZIONI ELEMENTARI: definizione e proprietà, grafici delle funzioni elementari,
disequazioni; concetto di funzione, funzioni monotone e strettamente monotone, funzione inversa,
funzione composta; insiemi di definizione delle funzioni composte.
SUCCESSIONI: limite di una successione; prime proprietà dei limiti; limitatezza delle successioni
convergenti, cenni sulle successioni estratte; operazioni con i limiti e forme indeterminate;
successioni monotone, il numero "e"; criterio del rapporto e della radice (s.d.); punti di
accumulazione; teorema di Bolzano; criterio di convergenza di Cauchy; insiemi chiusi, aperti e
compatti.
SERIE NUMERICHE: definizioni e prime proprietà; operazioni con le serie; serie
geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata; criterio di Cauchy; serie a
termini non negativi: criterio del rapporto, criterio della radice, criterio del confronto; serie
a segni alterni e criterio di Leibnitz (s.d.); assoluta convergenza e proprietà. Criterio dell’integrale
(s.d.).
FUNZIONI: limiti di funzioni e relative proprietà; funzioni continue: funzioni monotone continue e
loro caratterizzazione; continuità dell’inversa; classificazione delle discontinuità; funzioni
composte: limite di una funzione composta; massimi e minimi assoluti: teorema di Weierstrass
(s.d.); teorema degli zeri; funzioni uniformemente continue e teorema di Cantor (s.d.).
CALCOLO DIFFERENZIALE: definizione di derivata e significato geometrico della
derivata; regole di
derivazione; derivate delle funzioni elementari; massimi e minimi
relativi: condizione necessaria; teoremi di Rolle e Lagrange e conseguenze: crescenza e
stretta crescenza in un intervallo, derivata negli estremi di un intervallo e discontinuità delle
funzioni derivabili; teorema di Cauchy (s.d.), I e II teorema dell'Hospital (s.d.); calcolo dei limiti
che si presentano in forma indeterminata; infinitesimi e infiniti: confronto, principio di
cancellazione; formula di Taylor con resto di Peano e di Lagrange (s.d.); massimi e minimi relativi:
condizioni sufficienti; concavità e convessità in un intervallo, condizione sufficiente (s.d.); flessi;
asintoti; grafici di funzioni.
CALCOLO INTEGRALE: integrazione indefinita e nozione di primitiva; cenni sulla
misura di Peano-Jordan per gli insiemi limitati e non; misurabilità del rettangoloide;
integrale di Riemann e proprietà; teorema della media integrale; integrale definito e proprietà;
teorema fondamentale del Calcolo Integrale, formula fondamentale del calcolo integrale; regole di
integrazione indefinita: integrazione per parti, integrazione per sostituzione; cenni sulla
generalizzazione del concetto di integrale e sommabilità.
Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati.
BIBLIOGRAFIA: ALVINO -TROMBETTI, Elementi di Matematica I-Ed.Liguori
MARCELLINI – SBORDONE, Analisi Matematica I, Liguori Editore
E. GIUSTI, Analisi Matematica I-Ed.Boringhieri
C. MIRANDA, Analisi Matematica I-Ed.Liguori
ALVINO-CARBONE-TROMBETTI, Esercitazioni di Matematica I/1,2 - Ed.Liguori