scelte didattiche per dimostrare che i numeri primi sono infiniti

SCELTE DIDATTICHE PER DIMOSTRARE CHE I NUMERI PRIMI SONO INFINITI
di Luciano Porta
Il teorema dell’infinità dei numeri primi di Euclide è forse il primo che viene trattato nel corso
degli studi, già durante il primo anno della scuola secondaria di primo grado.
E’ quindi opportuno chiarire sinteticamente il significato di alcune proposizioni della matematica:
- definizioni, cioè descrizioni di nuovi enti utilizzando enti già conosciuti (es. il trapezio è un
quadrilatero con due lati paralleli);
- postulati, cioè affermazioni, nel minor numero possibile, accettate senza dimostrazione (per i
greci erano intuitive) (es. per due punti distinti passa una ed una sola retta);
- teoremi, cioè proposizioni dimostrate con rigore a partire dai postulati o da altri teoremi.
La geniale dimostrazione del teorema dell’infinità dei numeri primi di Euclide è una
dimostrazione detta per assurdo: facciamo un’ affermazione apparentemente accettabile e dopo
una serie di ragionamenti matematicamente corretti arriviamo a una conclusione che contraddice
l’affermazione iniziale che deve infine essere sostituita con il suo opposto.
Per esigenze didattiche è opportuno far precedere la dimostrazione da esempi numerici.
Una persona afferma che sono primi solo i numeri: 2, 3, 5, 7, 11.Applichiamo la formula di Euclide:
n = 2*3*5*7*11+1 = 2311 (nuovo numero primo che si aggiunge all’elenco dei primi conosciuti).
Un’altra persona afferma che sono primi solo i numeri: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Applichiamo la formula:
n = 2*3*5*7*11*13+1 = 30031 (numero composto e uguale al prodotto di 59*509, numeri primi
che devono essere aggiunti all’ elenco dei primi conosciuti).
Quindi entrambi hanno sbagliato e l’elenco dei numeri primi conosciuti si è allungato.
Ora esponiamo la vera e propria dimostrazione, con alcune semplificazioni nella notazione che non
ne pregiudicano il rigore, ma che ne facilitano la comprensione.
Iniziamo affermando che i numeri primi sono finiti.
I numeri primi sono solamente: a, b, c, d.
Calcoliamo un nuovo numero n (non sappiamo se primo o composto) con la formula di Euclide:
n = a*b*c*d+1
Possono presentarsi due casi:
1) n è numero primo e quindi dobbiamo aggiungerlo all’elenco dei primi conosciuti;
2) n è composto e quindi è il prodotto di numeri primi, tuttavia diversi da quelli già conosciuti
(infatti dividendo n per i primi già conosciuti c’è sempre il resto di 1).
Anche nel secondo caso l’elenco dei primi conosciuti si allunga.
Poiché la formula si può applicare ogni volta che abbiamo scoperto nuovi numeri primi, si
aggiungono infiniti primi sia nel caso 1) sia nel caso 2).
L’affermazione iniziale è sempre falsa e abbiamo dimostrato che:
teorema: i numeri primi sono infiniti Q.E.D. (quod erat demonstrandum).
Per far comprendere agli allievi che vi sono molte questioni ancora aperte (quindi congetture e
non teoremi) riguardanti i numeri primi possiamo introdurre la congettura di Christian Goldbach
(Königsberg, 18 marzo 1690 – Mosca, 20 novembre 1764), matematico tedesco.
Affermò nel 1742 che ogni numero pari maggiore di due è la somma di due numeri primi.
Propose la questione a Euler a cui si deve l’attuale enunciato.
Possiamo fare alcuni esempi: 4=2+2; 6=3+3;8=3+5;10=5+5;12=5+7 …
Poiché, anche se in tutti i casi finora esaminati l’affermazione è corretta, manca la dimostrazione,
parliamo, almeno per ora, di congettura e non di teorema di Goldbach.
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