Funzioni trigonometriche

Funzioni trigonometriche
Corso di accompagnamento in matematica
Lezione 5
Sommario
1
Angoli
2
Funzioni trigonometriche
simmetrie
formule
3
Equazioni trigonometriche
4
Proprietà dei triangoli
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
2 / 21
Angoli
Consideriamo due semirette (r , s) uscenti da un punto O nel piano
s
(r , s) coppia ordinata
β
α
rotazioni in senso antiorario
O
r
α angolo convesso
β angolo concavo
Angoli particolari (misure in gradi sessagesimali)
se r = s =⇒ α = 0◦
se r ⊥s =⇒ α = 90◦
se r = −r =⇒ α =
Corso di accompagnamento
cioè, r e s sono ortogonali
180◦
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
3 / 21
Radianti
Sistema cartesiano con
origine 0
r semiasse positivo delle
ascisse
C (0, R) circonferenza centro
0 e raggio R > 0
P = C (0, R) ∩ s
AP lunghezza arco da A a P
C (0, R)
s
P
R
α
r
A = (R, 0)
0
Misura in radianti dell’angolo (r , s): α = AP/R
Angoli particolari
gradi
rad
Corso di accompagnamento
0◦
0
30◦
45◦
60◦
90◦
π
6
π
4
π
3
π
2
Funzioni trigonometriche
180◦
π
270◦
3π
2
360◦
2π
Lezione 5
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Funzioni trigonometriche: y = sin x
b
C (0, 1) circonferenza
goniometrica (R = 1)
P
x
r
b
0
P = (cos x , sin x )
La funzione seno
dom(f ) = R, im(f ) = [−1, 1]
periodica T = 2π;
1
sin(0) = sin(π) = 0;
= −1;
sin π2 = 1 e sin 3π
2
−π
sin(−x ) = − sin(x ).
Corso di accompagnamento
−π/2
π/2
π
x
−1
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
5 / 21
Funzioni trigonometriche: f (x) = cos x
b
C (0, 1) circonferenza
goniometrica (R = 1)
P
x
r
b
0
P = (cos x , sin x )
La funzione coseno
dom(f ) = R, im(f ) = [−1, 1]
periodica T = 2π;
cos π2 = cos 3π
= 0;
2
cos(0) = 1 e cos(π) = −1;
cos(−x ) = cos(x ).
Corso di accompagnamento
1
π
−π
π/2
−π/2
x
−1
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
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Funzioni trigonometriche: f (x) = tan x
b
C (0, 1) circonferenza
goniometrica (R = 1)
P
x
r
b
0
P = (cos x , sin x )
La funzione tangente
y = tan x =
sin x
cos x
dom(f ) = R \
im(f ) = R
π
2
+ k π, k ∈ Z ;
−π/2
−π
periodica T = π;
π
π/2
x
tan(0) = 0;
tan(−x ) = − tan(x ).
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
7 / 21
Formule trigonometriche fondamentali
P
b
C (0, 1) circonferenza
goniometrica (R = 1)
x
r
b
0
P = (cos x, sin x)
sin2 x + cos2 x = 1
Angoli notevoli
sin
π
6
cos
π
6
tan
π
Corso di accompagnamento
6
=
=
=
1
2
√
3
2
√
3
3
π
3
√
= 23
cos π3 = 12
√
tan π3 = 3
sin
Funzioni trigonometriche
sin
π
4
cos
π
4
tan
=
π
4
=
√
2
2
√
2
2
=1
Lezione 5
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Angoli associati e simmetrie I
b
C (0, 1) circonferenza
goniometrica (R = 1)
P
x
r
b
0
P = (cos x, sin x)
b
P1
P1 = (cos(x + π), sin(x + π)) = (− cos x, − sin x)
Relazioni notevoli
sin(π + x) = − sin(x)
cos(π + x) = − cos(x)
tan(π + x) = tan(x)
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
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Angoli associati e simmetrie II
C (0, 1) circonferenza
goniometrica (R = 1)
P
b
x
r
b
0
P = (cos x, sin x)
b
P1
P2 = (cos(2π − x), sin(2π − x)) = (cos x, − sin x)
Relazioni notevoli
sin(2π − x) = sin(−x) = − sin(x)
cos(2π − x) = cos(−x) = cos(x)
tan(2π − x) = tan(−x) = − tan(x)
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
10 / 21
Angoli associati e simmetrie III
C (0, 1) circonferenza
goniometrica (R = 1)
P3
b
b
P
x
r
b
0
P = (cos x, sin x)
P3 = (cos(π − x), sin(π − x)) = (− cos x, sin x)
Relazioni notevoli
sin(π − x) = sin(x)
cos(π − x) = − cos(x)
tan(π − x) = − tan(x)
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
11 / 21
Angoli associati e simmetrie IV
C (0, 1) circonferenza
goniometrica (R = 1)
b
P4
b
P
x
r
b
0
P = (cos x, sin x)
π
π
P4 = cos
+ x , sin
+x
= (− sin x, cos x)
2
2
Relazioni notevoli
sin
cos
tan
π
2 + x = cos x
π
2 + x = − sin x
π
2 + x = − cot x
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
12 / 21
Angoli associati e simmetrie V
C (0, 1) circonferenza
goniometrica (R = 1)
b
P
b
P5
r
b
0
P = (cos x, sin x)
π
π
P5 = cos
− x , sin
−x
= (sin x, cos x)
2
2
Relazioni notevoli
sin
cos
tan
π
2 − x = cos x
π
2 − x = sin x
π
2 − x = cot x
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
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Formule di addizione e di sottrazione
Formule di addizione
sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
Formule di sottrazione
Usare f (x − y) = f (x + (−y)), formule di addizione e simmetrie
sin(x − y) = sin x cos y − sin y cos x
Formule di duplicazione
Usare 2x = x + x e formule di addizione
sin(2x) = 2 sin x cos x
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
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Formule di Werner e prostaferesi
Formule di Werner
sin x cos y
=
1
2 (sin(x
sin x sin y
=
1
2 (cos(x
cos x cos y
=
1
2 (cos(x
+ y) + sin(x − y))
− y) − cos(x + y))
+ y) + cos(x − y))
Formule di prostaferesi
sin x ± sin y
Corso di accompagnamento
x∓y
= 2 sin x±y
2 cos 2
cos x + cos y
x−y
= 2 cos x+y
2 cos 2
cos x − cos y
x−y
= −2 sin x+y
2 sin 2
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
15 / 21
Equazioni trigonometriche I
Si cercano
x ∈ R : sin(x) = c
se |c| > 1 =⇒ nessuna soluzione
se |c| ≤ 1 =⇒ infinite soluzioni della forma

 α ∈ − π , π , α + 2kπ
1
1
2 2
 α = π − α , α + 2kπ
2
c
1
2
c1
1
π
2π
3π
x
−1
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
α1
−1
α2 π
2π
Lezione 5
3π
x
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Equazioni trigonometriche II
Si cercano
x ∈ R : cos(x) = c
se |c| > 1 =⇒ nessuna soluzione
se |c| ≤ 1 =⇒ infinite soluzioni della forma

 α ∈ [0, π] ,
α1 + 2kπ
1
 α = 2π − α , α + 2kπ
2
c
1
1
c
π
2π
3π x
−1
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
2
1
α2
α1
−1
π
2π
Lezione 5
3π x
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Equazioni lineari in seno e coseno
Dati a, b, c, ∈ R, si cercano
x ∈R:
a sin(x) + b cos(x) = c
Si pongono
t = sin(x),
s = cos(x)
e si risolve, in t e s

 at + bs = c
 t 2 + s2 = 1
Se (t̄, s̄) soluzioni, si cercano x ∈ R :
sin(x) = t̄
cos(x) = s̄
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
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Eqz. omogenee di II grado in seno e coseno
Dati a, b, c, ∈ R, si cercano x ∈ R :
a sin2 (x ) + b cos2 (x ) + c sin(x ) cos(x ) = d
a 6= d
d = d(cos2 (x ) + sin2 (x ))
a=d
d = d(cos2 (x ) + sin2 (x ))
si divide per cos2 (x )
si risolve il sistema
si risolve
cos(x ) [( b−d) cos x +c sin x ] = 0
(a−d)t 2 +ct +(b−d) = 0 ⇒ t
soluzioni x ∈ R :
tan(x ) = t
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
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Equazioni e disequazioni trigonometriche
Indicazioni generali
scrivere tutte le funzioni trigonometriche in termini di seno e coseno
scrivere le funzioni utilizzando lo stesso angolo
se non ci sono termini noti, scrivere l’equazione come prodotto di vari
fattori
studiare attentamente i valori ammissibili quando si fanno certe
operazioni algebriche, come, ad esempio, dividere per una certa
funzione
metodo grafico
interpretazione geometrica ricorrendo all’esame della circonferenza
trigonometrica
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
Lezione 5
20 / 21
Proprietà dei triangoli
C
Teorema dei seni
b
b
c
a
=
=
sin α
sin β
sin γ
α
A
a2 = b2 + c 2 − 2bc cos α
b2 = a2 + c 2 − 2ac cos β
c 2 = a2 + b2 − 2ab cos γ
Corso di accompagnamento
Funzioni trigonometriche
a
β
c
Caso:
Teorema di Carnot
γ
α=
B
π
2
b = a sin β = a cos γ
c = a sin γ = a cos β
b = c tan β
c = b tan γ
Lezione 5
21 / 21