PNI QUESITO 9 Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali costituiscono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. Chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta. SOLUZIONE: La cardinalità di un insieme corrisponde al numero di elementi in quell’insieme. Se tra due insiemi esiste una corrispondenza biunivoca tra tutti i loro elementi, allora quei due insiemi hanno la stessa cardinalità. Poiché per ogni coppia di numeri naturali, esiste sempre una coppia di numeri razionali, allora la cardinalità di N coincide con quella di Q: se a e b sono numeri naturali, si ha che ad ogni possibile disposizione dei due: (a,b) o (b,a), corrisponde un numero razionale Q: a b e . b a Luisa, tuttavia, ha ragione perché la cardinalità dell’insieme dei numeri irrazionali è maggiore di quella dei numeri naturali. Basti pensare che non esistono corrispondenze biunivoche tra un numero naturale e numeri come π , ed e . Giacchi Gianluca