Registro delle Lezioni di Analisi Matematica 1 a.a. 2011/2012

Registro delle Lezioni di Analisi Matematica 1 a.a. 2011/2012
SETTIMANA 1:
- Numeri Reali: Assioma di completezza, retta reale e funzione ascissa. Intervalli.
- Maggiorante e minorante, insieme superiormente ed inferiormente limitato,
massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore.
- Teorema di esistenza dell’estremo superiore (dim)
- Proprieta’ Archimedea (dim)
- Teorema di densita’ dei numeri razionali (dim)
- Principio di induzione. Identita’ di Gauss (dim), Diseguaglianza di Bernoulli (dim)
Somma delle prime n-potenze.
SETTIMANA 2:
- Successioni numeriche: limite di successione.
- Teorema di unicitaʼ del limite (dim)
- Successioni limitate e limitatezza delle successioni convergenti (dim)
- Prodotto di una successione limitata per una infinitesima (dim)
- Algebra dei limiti finiti (dim. somma)
- Successioni divergenti e successioni regolari
- Algebra dei limiti infiniti e forme indeterminate
- Teorema della permanenza del segno e conseguenze (dim)
- Teorema del confronto tra limiti finiti (dim)
- Limiti notevoli di seno e coseno (dim)
- Successioni monotone
SETTIMANA 3:
- Teorema di regolaritaʼ delle successioni monotone (dim).
- Il numero di Nepero
- Diseguaglianza di Nepero e limiti notevoli coinvolgenti esponenziale e logaritmo
- Criterio del rapporto (dim) e gerarchia degli infiniti. Ordine di infinito.
- Relazione di asintotico e proprietà' elementari.
SETTIMANA 4:
- Funzioni reali: Dominio, codominio, immagine, controimmagine e grafico.
- Operazioni tra funzioni: somma, differenza, prodotto e quoziente. Funzione
composta.
- Funzione iniettiva, suriettiva e bijettiva. Funzione inversa.
- Limite di funzioni. Teorema di caratterizzazione sequenziale del limite di funzioni (dim).
- Funzioni limitate e Teorema sul limite di una funzione limitata per una funzione
infinitesima. Algebra dei limiti.
SETTIMANA 5:
- Teorema sul limite delle funzioni composte (dim)
- Funzioni asintotiche e proprietaʼ elementari
- Teoremi della permanenza del segno (dim) e del confronto.
- Estremo superiore ed inferiore, Teorema sul limite di funzioni monotone (dim)
- Funzioni trascurabili (“o” piccolo) e proprietaʼ elementari
SETTIMANA 6:
- Ordine di infinitesimo
- Funzioni continue e Teorema di caratterizzazione sequenziale della continuitàʼ.
- Continuitaʼ delle funzioni elementari (dim)
- Continuitaʼ di somma, prodotto e quoziente di funzioni continue
- Teorema sulla continuitaʼ della funzione composta
- Classificazione delle discontinuitaʼ, prolungamento per continuitaʼ
- Teorema di esistenza degli zeri (dim) e metodo di bisezione.
- Primo Teorema dei valori intermedi (dim)
SETTIMANA 7:
- Secondo Teorema dei valori intermedi (dim)
- Massimi e minimi, punti di massimo e di minimo e Teorema di Weierstrass
- Terzo Teorema dei valori intermedi
- Teorema sulla continuità' delle funzioni monotone
- Teorema sull'iniettivita' delle funzioni continue (dim)
- Teorema sulla continuità' della funzione inversa (dim)
- Funzioni derivabili, interpretazione cinematica e geometrica: rette secanti e retta tangente.
- Derivabilitaʼ delle funzioni elementari (dim)
- Punti angolosi, cuspidi e punti a tangente verticale.
- Funzioni differenziabili,Teorema del differenziale (dim) e Formula degli incrementi finiti
- Regole di derivazione di somma, prodotto e quoziente di funzioni (dim. di somma e prodotto)
- Regola di derivazione della funzione composta (dim) e della funzione inversa (dim)
SETTIMANA 8:
- Massimi e minimi relativi, Teorema di Fermat (dim)
- Teorema di Rolle (dim), Teorema di Lagrange (dim) e di Cauchy
- Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti (dim)
- Criterio di monotonia (dim) e Criterio di monotonia stretta.
- Risoluzione di equazioni trascendenti.
- Funzioni convesse su un intervallo aperto.
- Criterio di convessitaʼ per funzioni derivabili (dim)
- Derivata seconda e Criterio di convessitaʼ per funzioni derivabili due volte
- Teorema di De lʼ Hopital nel caso 0/0 (dim)
- Condizione sufficiente allʼesistenza della derivata in un punto (dim)
SETTIMANA 9:
- Formula di Taylor di ordine n con resto di Peano
- Formula di Taylor delle funzioni elementari. Esempi di applicazione.
- Funzioni integrabili: partizione, somma integrale superiore e inferiore, integrale
superiore e inferiore, funzione integrabile secondo Riemann e integrale di Riemann
- Criterio di integrabilitaʼ (dim)
- Teorema di integrabilitaʼ delle funzioni monotone (dim)
- Teorema di integrabilitaʼ delle funzioni continue
- Proprietaʼ di additivitaʼ, di linearitaʼ e di monotonia dellʼintegrale
- Integrale definito e Funzione integrale
- Teorema di continuitaʼ della funzione integrale (dim)
- Teorema della media integrale (dim)
- Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim)
- Primitiva di una funzione continua e Teorema di caratterizzazione delle primitive
- Formula fondamentale del calcolo integrale (dim)
- Integrale indefinito
- Integrali immediati. Integrali riconducibili ad integrali immediati.
- Proprietaʼ di linearitaʼ dellʼintegrale indefinito.
- Regole di integrazione per parti e per sostituzione.
SETTIMANA 10:
- Integrale di funzioni razionali.
- Calcolo di aree e lunghezze.
- Integrali impropri su intervalli limitati: integrali impropri convergenti e divergenti.
- Criterio del confronto (dim)
- Teorema sullʼassoluta convergenza dellʼintegrale (dim)
- Criterio del confronto asintotico (dim. prima affermazione). Esempi
- Integrali impropri su intervalli illimitati: integrali impropri convergenti e divergenti.
SETTIMANA 11:
- Criterio del confronto.
- Condizione necessaria alla convergenza (dim)
- Teorema sullʼassoluta convergenza dellʼintegrale.
- Criterio del confronto asintotico . Esempi.
- Studio di funzioni integrali
- Somme parziali e serie numeriche. Serie convergenti, divergenti e indeterminate.
- Serie geometrica e serie armonica generalizzata.
- Condizione necessaria alla convergenza (dim)
- Serie a termini non negativi: Criterio del confronto integrale (dim)
SETTIMANA 12:
- Criterio del confronto asintotico. Esempi.
- Criterio del rapporto (dim)
- Criterio della radice (dim)
- Teorema sulla convergenza assoluta.
- Serie a termini di segno alterno e Criterio di Leibniz (dim)
- Serie di potenze. Teorema di Abel di convergenza in intervalli (dim).
- Raggio di convergenza
- Teorema sul raggio di convergenza
- Metodo del rapporto di D'Alembert (dim) e metodo della radice di Cauchy-Hadamard.
- Serie derivata e integrata. Teorema di derivazione ed integrazione delle serie di potenze
- Teorema di sviluppabilita' in serie di taylor della somma di una serie di potenze.
- Serie di Taylor e Teorema di sviluppabilita' in serie di Taylor.
- Sviluppo in serie di Taylor delle funzioni elementari (dim).