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Programma di ANALISI MATEMATICA 2 (CdL Fisica)
Anno accademico 2016-2017
Docente: D. Donatelli
1- CONTINUITA' e DIFFERENZIABILITA'
Spazi normati. Insiemi chiusi, aperti, punti di accumulazione, frontiera di un insieme.
Esempi di norme in R^n e norme equivalenti. Limiti di successioni e di funzioni in R^n.
Funzioni di più variabili. Limite di una funzione di più variabili. Continuità. Insiemi di livello.
Derivate di funzioni a valori vettoriali. Derivate parziali e direzionali, gradienti. Differenziale
di applicazioni da R^n in R^m. Teorema del Differenziale totale. Determinante Jacobiano.
Derivate e differenziali di funzioni composte. Esempi: coordinate polari, sferiche,
cilindriche. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwarz. Operatore di Laplace.
Derivazioni di campi vettoriali: divergenza, rotore in 2-D e 3-D e loro proprietà formali.
Legame tra rotore e parte antisimmetrica della matrice Jacobiana. Significato fisico e
geometrico del rotore.
Sviluppo di Taylor con resto di Peano e Lagrange fino al secondo ordine per funzioni di
due e più variabili.
2- FUNZIONI IMPLICITE E INVERSIONE LOCALE
Il Teorema di Dini per funzioni a valori scalari (dim nel caso R^2). Teorema di inversione
locale (senza dim.)
3- OTTIMIZZAZIONE DELLE FUNZIONI DI PIU’ VARIABILI
Punti stazionari, condizioni necessarie. Massimi e minimi locali, selle, condizioni sufficienti
sugli invarianti ortogonali della matrice Hessiana. Massimi e minimi vincolati. Significato
geometrico delle ipotesi. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (dim. nel caso di un solo
vincolo).
4- MISURA E INTEGRAZIONE
Misura dei parallelepipedi, insiemi di misura nulla. Misura di Peano-Jordan. Somme
integrali, integrabilità secondo Riemann, integrabilità delle funzioni continue. Integrale
doppio e triplo. Formule di riduzione per l'integrale doppio e triplo. Cambiamento di
variabili (senza dim.). Calcolo delle aree e dei volumi. Calcolo della massa e dei momenti
di inerzia e del baricentro.
5- CURVE, INTEGRALI CURVILINEI E FORME DIFFERENZIALI
Curve parametriche regolari in R^n. Curve regolari a tratti. Versori tangenti, Lunghezza di
una curva. Parametrizzazioni, orientamento. Ascissa cirvilinea. Integrale curvilinei di
funzioni scalari. Forme differenziali. Integrazione di forme differenziali su curve regolari.
Campo vettoriali associato a una forma differenziale e lavoro compiuto su un cammino.
Integrazione su curve chiuse (circuitazione). Forme chiuse, forme esatte, esattezza implica
chiusura. Campi conservativi e irrotazionali. Rapporto con le nozioni di campo di forze
irrotazionale e conservativo. Circuitazione nulla come condizione necessaria e sufficiente
di esattezza. Domini stellati e semplicemente connessi, esattezza di forme chiuse in R^2 e
R^3 (dim. solo nel caso di domini stellati).
6- SUPERFICI ED INTEGRALI DI SUPERFICIE
Superfici in forma parametrica, vettori tangenti alle curve coordinate, versore normale.
Parametrizzazioni, orientazione. Elemento di area. Integrali di superficie. Flusso di un
campo vettoriale lungo una superficie.
7- TEOREMI DI GAUSS-GREEN, STOKES E DIVERGENZA
Formule di Gauss-Green e di Stokes nel piano. Teorema di Stokes in R^3. Teorema della
divergenza in R^3. Potenziale vettore.
8- SUCCESSIONI DI FUNZIONI
Convergenza puntuale e convergenza uniforme. Criterio di convergenza di Cauchy per la
convergenza uniforme. Limite uniforme di funzioni continue. Passaggio al limite sotto al
segno di derivata. Passaggio al limite sotto al segno di integrale.
9- SERIE DI FUNZIONI
Convergenza puntuale totale e uniforme. Scambio tra derivate e serie e tra integrale e
serie. Serie di potenze nel campo complesso: convergenza puntuale e uniforme. Cerchio
di convergenza, determinazione del raggio. Comportamento della serie sul bordo del
cerchio di convergenza. Criterio di Abel-Dirichlet (senza dim.). Teorema di Abel (senza
dim.). Derivata e integrale di serie di potenze. Cenno alle serie di Taylor.
10- EQUAZIONI DIFFERENZIALI
Definizioni principali: equazioni differenziali ordinarie in forma normale; ordine di
un’equazione; equazioni differenziali ordinarie in forma normale del primo ordine. Il
problema di Cauchy: Teorema di esistenza e unicità locale. Prolungamento di soluzioni:
teorema di esistenza globale (senza dim.).
Sistemi lineari del primo ordine in forma normale. Principio di sovrapposizione. Sistemi
lineari omogenei. Determinante wronskiano. Matrice esponenziale. Sistemi omogenei del
primo ordine a coefficienti costanti.
Equazione lineare di ordine n e sistema del primo ordine equivalente. Metodo di
variazione delle costanti arbitrarie e metodo di somiglianza.
Sistemi autonomi. Punti critici, stabilità e instabilità. Stabilità dell’origine per sistemi lineari
autonomi e classificazione dei punti critici nel caso n = 2. Integrali primi, analisi delle orbite
nel piano delle fasi. Piano delle fasi e ritratto di fase qualitativo. Metodo di Liapunov,
teorema di stabilità di Liapunov (senza dim.). Teorema di linearizzazione. Studi locali e
globali sul piano delle fasi.
LIBRO DI TESTO:
C.D.Pagani, S.Salsa - Analisi Matematica - volumi 1 e 2 – Edizioni Zanichellli