Segnali e sistemi

Gianfranco Cariolaro, Gianfranco Pierobon, Giancarlo Calvagno
Segnali e sistemi
Indice analitico
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A
aliasing, 443
fenomeno dell’, 424f
AMI, codificatore, 315
analiticità della trasformata zeta, 199
antitrasformata
di Fourier per segnali continui, 87
di Fourier segnale discreto, 159
di Laplace, 117
di Laplace, unicità della, 118
di una trasformata di Laplace
razionale, 134
di una trasformata zeta razionale,
214
zeta, 200
zeta, unicità della, 200
area
della convoluzione, 62
di un segnale continuo, 46
associatività della convoluzione, 62
B
banda di un segnale, 98
BIBO, criterio (vedi criterio BIBO), 241
Bode, diagrammi di, 410
C
cambiamento di scala
per segnali discreti, 155
per segnali continui, 37
campionamento, 173, 422
seguito da interpolazione, 434
periodo di, 173
ripetizione periodica con aliasing,
426f
simbolo grafico del, 422f
studio in frequenza, 423
teorema del, vedi teorema del
campionamento
teorema unificato del, 484
campionatore, 20, 173
cascata di trasformazioni lineari, 278
cinematografia digitale, 456
codificatore AMI, 315
codificatore convoluzionale, 316
coefficiente di Fourier, 72
commutatività della convoluzione, 62
componente continua del segnale, 42
comunicazioni elettriche, 1
condizione
di corretta interpolazione, 459
di non distorsione secondo
Heaviside, 421
di perfetta equalizzazione, 419
di ortogonalità per segnali discreti,
177
connnessione di trasformazioni, 275
in controreazione, 281
in parallelo, 280
in serie, 275
controlli automatici, 1
conversione, 446
analogico-numerica,
campionamento, 448
analogico-numerica, errore di
quantizzazione, 450
analogico-numerica, operazioni
necessarie per la, 447
analogico-numerica,
quantizzazione, 448
analogico-numerica, velocità e
occupazione di memoria, 454
in binario, 452
numerico/analogica, 457f
P/S di parole binarie in simboli,
452f
parallelo/serie (P/S), 444
serie/parallelo (S/P), 444
convoluzione, 59
algebra della, 471
area della, 62
associatività della, 62
calcolo della, 62
ciclica, 65
come filtraggio, 66
commutatività della, 62
definizione unificata, 221, 469
di segnali periodici, 65
durata della, 61
interpretazione della, 66
linearità della, 62
per segnali discreti, 153
periodica, impulso delta nella, 68
periodica, trasformata di Fourier
della, 81
proprietà della, 62
tra due segnali periodici, 154
traslazione della, 62
unificata, proprietà della, 221, 222t
coppia di Fourier, 165
criterio BIBO, 241
sistema stabile, 310
estensione dell’uso del, 415
dimensionalità del segnale, 12
discrete Fourier transform (DFT), vedi
DFT
durata del segnale, 44
E
energia di un segnale, 43
continuo, 47, 98
equalizzazione, condizione di perfetta,
419
equazione
alle differenze, soluzione, 344
d’aggiornamento di stato, sistema
LTI discreto, 324
di stato, sistema LTI discreto, 324
espansione in frazioni parziali
trasformata di Laplace, 127
trasformata zeta, 212
D
esponenziale
causale discreto, trasformata di
definizione unificata di segnale, 463
Fourier, 170
demultiplazione, 444
reale anticausale, trasformata di
derivate generalizzate, 58
Laplace, 115f
DFT, 175
reale causale, trasformata di
calcolo via FFT, 189
Laplace, 115f
complessità computazionale, 184, estrazione di un polo multiplo,
188t
trasformata di Laplace, 131
di un segnale discreto costante, 182 estrazione di un polo semplice,
di un segnale discreto sinusoidale, trasformata di Laplace, 128
182, 183f
Eulero, formule di, 51
discrete Fourier transform, 175
evoluzione
esempi di, 181
esterna, 21
in presenza di simmetrie, 181
interna, 21
proprietà della, 179
libera di un sistema alle differenze,
regole generali, 180t, 181
355
diagrammi di Bode, 410
libera, di un’equazione alle
della cascata di due sistemi del
differenze, 345
primo ordine, 413f
di un sistema del secondo ordine,
414f
F
fast Fourier transform (FFT), vedi FFT
fax, 4
FFT, fast Fourier transform, 184
algoritmo di riduzione delle
operazioni, 185
complessità della, 187, 188t
di segnale continuo, 190
esempi di implementazione della,
188
utilizzazione della, 189
filtraggio, 66
dei segnali, 108
filtro, 67
FIR (finite impulse response), 358
FIR, esempio di, 359f
ideale, 267
ideale a tempo continuo, 268
ideale a tempo discreto, 269
ideale, interpretazione della
trasformata di Fourier con, 274
ideale, larghezza di banda, 275
ideale, proprietà, 270
IIR (infinite impulse response), 360
IIR puramente ricorsivo, esempio
di realizzazione, 361f
interpolatore, 427, 429f
interpolatore, relazione in
frequenza di un, 433f
interpolatore, relazione ingressouscita, 427
interpolatore, risposta in frequenza,
433
passa-alto ideale, 268
passa-banda ideale, 268
passa-basso ideale, 269
risposta impulsiva del, 67
finestre, 250
formula di Eulero, 32, 51
Fourier
coefficiente di, 72
coppia di, 165
serie di, 71
frequenza di campionamento, 423
funzione
di transizione di stato, 301
di trasferimento di un sistema alle
differenze, 357
di trasferimento, sistema LTI
continuo, 381
gradino unitario, 51
impulsiva, 56
segno discreto, 170
seno integrale, 110
G
gradino discreto, 149
trasformata di Fourier, 171
gruppi multidimensionali fattorizzabili,
475
gruppo abeliano, 465
H
Haar
integrale di, vedi integrale di Haar,
misura di, 146
Heaviside, condizione di non distorsione
secondo, 421
I
IDFT, inverse discret Fourier transform,
175
impulso
delta, 55, 56
delta nella convoluzione periodica, 68
delta, proprietà rivelatrice, 57
delta, trasformata zeta, 209
di tipo sinc, 54
ideale discreto, 148
ideale discreto, trasformata di
Fourier, 167
ideale periodico, trasformata di
Fourier dell’, 83
rettangolare, 53
rettangolare discreto, 149
rettangolare discreto, trasformata di
Fourier, 169
rettangolare, trasformata zeta, 210
incremento di un segnale discreto, 155
informazione, 13
sistema di trasmissione dell’, 15
integrale
di convoluzione, 59
di Haar, 218, 466
di Haar, espressioni dell’, 468
di Haar, proprietà, 467
Internet, rete, 4
interpolazione
a tenuta, 144, 430
con sinc, 432f
condizione di corretta, 429
condizione di corretta, 459
di un segnale discreto, 427
esempi di, 430
gaussiana, 432
interpretazione del meccanismo di,
428
lineare, 431
parabolica a tratti, 432f
parabolica, 431
invarianza
concetto di, 244
del segnale, 41
rispetto alle traslazioni, 463
inverse discret Fourier transform (IDFT),
175
K
Kronecker, simbolo di, 72, 159, 177
L
larghezza di banda, 275
linearità
della convoluzione, 62
della trasformata di Fourier, 79, 93
della trasformata zeta, 207
M
macchina sequenziale, 315
di Mealy, 315
matrice
idempotente, 328, 368
nihilpotente, 328, 368
Mealy, macchina sequenziale di, 315
misura di Haar, 146
multiplazione di segnali discreti, 444
N
nucleo di Fourier, 90
P
parola binaria, 452
Parseval, teorema di, 82
periodo
del segnale, 10
di campionamento, segnale
discreto, 147
di cifra, 453
minimo di un segnale periodico, 45
porzione di un segnale, 237
potenza del segnale, 43
potenza media di un segnale continuo, 47
processo aleatorio, 14
processo stocastico, 14
proprietà rivelatrice dell’impulso delta, 57
Q
quantizzatore, come trasformazione, 284
quanto temporale, 141
raddrizzatore, come trasformazione, 283
rapporto
segnale/ errore, 450
segnale/disturbo, 444
regione di convergenza, trasformata di
Laplace, 116
registrazione magnetica, 4
regola di simmetria, trasformata di
Fourier di segnali discreti, 165
rete Internet, 4
ribaltamento della trasformata di Fourier,
80
ribaltamento di un segnale continuo, 29,
36
riconversione numerico/analogica, 456
ripetizione periodica di un segnale
continuo, 47
risposta
forzata di un sistema alle
differenze, 353
forzata, di un’equazione alle
differenze, 346
impulsiva, 67
in frequenza, proprietà della, 264
rumore termico, 23
S
segnale
a durata limitata, 44
a gradino, 49
a gradino, trasformata zeta, 209
a tempo continuo, 7, 29
a tempo discreto, vedi segnale
discreto
ad ampiezza continua, 9
ad ampiezza discreta, 9
ad energia finita, 43
aleatorio, 13
aperiodico, 10, 45
audio, 455
bidimensionale, 4f
causale, 45
complesso, 31
complesso, rappresentazione
alternativa, 33
complesso, rappresentazione, 32
componente continua del, 42
continuo, 7, 29, 31
continuo, area di un, 46
continuo, emivalore, 35
continuo, energia di un, 47
continuo, potenza media di un, 47
continuo, ripetizione periodica di
un, 47
continuo, trasformata di Fourier
del, 87
costante, 48
definizione unificata di, 463
definizione unificata, 216
determinato, 13
dimensionalità del, 12
discreto periodico, 146
discreto periodico, trasformata di
Fourier, 178
discreto reale, trasformata di
Fourier, 161
discreto, 8
discreto, area, 144
discreto, cambiamento di scala, 155
discreto, convoluzione, 153
discreto, definizione, 141
discreto, energia, 145
discreto, esempi di, 147
discreto, estensione, 146
discreto, incremento di un, 155
discreto, periodo di
campionamento, 147
discreto, potenza, 145
discreto, ribaltamento, 143
discreto, simmetria, 143
discreto, somma corrente, 155
discreto, trasformata di Fourier,
159
discreto, traslazione, 143
discreto, valore medio, 144
discreto, velocità del, 161
dispari, 37
dominio, 216
durata del, 44
elettrico, 3
energia di un, 43
esempi di, 9f
esponenziale causale discreto, 150
esponenziale discreto, 151
esponenziale, 48
esponenziale, trasformata zeta, 210
fisico, 2
hermitiano, 40
immaginario, 39
invarianza del, 41
“matematico”, 6
multidimensionale, 12
multidimensionale, 22
pari, 37
periodicità, 217
periodico, 10, 45
periodico, convoluzione, 154
periodico, periodo minimo, 45
periodico, serie di Fourier di un, 75
porzione di un, 237
potenza del, 43
reale, 29
reale, esempi di, 4, 5
reale, scomposizione in parte pari e
dispari, 38f
reale, trasformata di Fourier, 91
sinusoidale discreto, 151
sinusoidale, 48
telefonico, 454
vettoriale, 12, 22
video, 455
vocale, 2
serie di Fourier, 71
di un segnale periodico, 75
funzioni sviluppabili in, 73
sviluppo in, 73
simbolo di Kronecker, 72, 159, 177
simmetria hermitiana, 40, 75, 91
simmetrie fondamentali nella trasformata
di Fourier per segnali discreti, 166
sistema continuo
descritto da equazioni differenziali,
evoluzione libera, 392, 398
descritto da equazioni differenziali,
funzione di trasferimento, 400
descritto da equazioni differenziali,
risposta forzata, 394, 397
descritto da equazioni differenziali,
sistemi reali, 402
descritto da equazioni differenziali,
stabilità del sistema, 402
descritto da equazioni differenziali,,
studio mediante trasformata di Laplace,
397
sistema LTI continuo
a più ingressi e più uscite, 365
a un ingresso e un’uscita, 375
calcolo della risposta, 376
descrizione con equazioni
differenziali, 381
equazioni di stato, 366
evoluzione forzata, 371
evoluzione libera, 371
funzione di trasferimento, 381
metodo basato sulla soluzione
dell’equazione differenziale, 392
rappresentazioni grafiche, 388
risposta forzata, 376
risposta impulsiva, 376
risposta impulsiva, 381
sintesi con componenti elementari,
373
stabilità, 380
studio mediante variabili di stato,
385
trasformazioni associate, 372
sistema LTI discreto
a più ingressi e a più uscite, 323
a un ingresso e un’uscita, 333
calcolo della risposta, 333
equazione alle differenze, 340
equazioni di stato, 324
evoluzione forzata, 327
funzione di trasferimento, 338
inquadramento, 342
memoria, 339
proprietà, 332
risposta impulsiva, 338
311
risposta impulsiva, 348
risposta in frequenza, 339
sintesi con componenti elementari,
equivalenza tra, 317
evoluzione interna ed esterna, 308
FIR, 340
generalizzazione del concetto di,
IIR, 340
lineare, 310, 313
memoria di un, 299
330
minimale, 319
soluzione delle equazioni di stato,
modello globale della definizione
326
di, 293
trasformata zeta, 353
numerico, 314
trasformazioni associate, 329
stabile, 310
evoluzione libera, 327
stabile, criterio BIBO, 310
sistema vedi anche sistema LTI continuo,
stocastico, 22
sistema continuo e sistema LTI discreto
tempo-invariante, 309
a tempo continuo, vedi sistema LTI
trasformazioni associabili a un, 297
continuo e sistema continuo
vettoriale, 311
ad uscita dipendente soltanto dallo
somma corrente di un segnale discreto,
stato, 309
155
alle differenze, studio con la
stabilità di un sistema descritto da
trasformata zeta, 353
equazioni alle differenze, 357
causale, 310
comportamento asintotico di un,
298
T
condizioni di consistenza, 295
definizione di, 290
telefonia, 3
definizione unificata di, 478
televisione, 4
del primo ordine, 405
teorema del campionamento, 436
del primo ordine, diagrammi di
dimostrazione, 438
Bode, 411
enunciato, 438
del secondo ordine, 406
errore fuori banda, 443
del secondo ordine, diagrammi di
errore in banda, 443
Bode, 413
errori di ricostruzione, 442
del secondo ordine, risposta al
filtro interpolatore, 440
gradino unitario, 409f
ricostruzione del segnale, 439, 440f
del secondo ordine, risposta
teorema di Parseval, 82
impulsiva, 409f
teorema unificato del campionamento,
descrizione locale di, 302
484
determinato, 22
teoria
di trasmissione con rumore, 23f
dei segnali, 1
discreto, descrizione locale, 301
dei sistemi, 1
discreto, evoluzione interna ed
delle distribuzioni, 55
esterna, 306
unificata, condizione di non
equivalente, 318
unificata, enunciato del teorema del
campionamento, 489
unificata, trasformazioni ideali, 482
unificata, trasformazioni lineari
quasi-invarianti (LQI), 480
unificata, trasformazioni LQI, tipi
di, 482t
trasformata di Fourier
confronto con la trasformata zeta,
204
definizione unificata, 226
dei segnali continui, 87
del segnale a gradino, 106
dell’impulso di tipo sinc, 104
dell’impulso ideale discreto, 167
dell’impulso ideale periodico, 83
dell’impulso rettangolare, 104
della funzione segno discreto, 170
di segnali discreti, esempi, 167
di segnali discreti, regole, 162t,
163, 164
di segnali periodici, 77
di un impulso rettangolare discreto,
169
di un segnale discreto, 159
di un segnale discreto reale, 161
di un segnale reale, 91
di un segnale sinusoidale, 168
e trasformata di Laplace, 119, 121
e trasformata zeta, 202
esponenziale causale discreto, 170
forma unificata, 472
gradino discreto, 171
in forma unificata, regole generali,
228t
interpretazione con filtro ideale,
274
ordinaria, 103
per segnali discreti periodici
per segnali discreti periodici, 178,
vedi DFT
per segnali periodici, 102
proprietà della, 93
regole generali per segnali continui, 94t
regole generali per segnali
periodici, 79t
trasformata di Laplace
analiticità della, 116
bilatera, 113
definizione, 113
e trasformata di Fourier, 119, 121
espansione in frazioni parziali, 127
esponenziale reale anticausale, 115f
esponenziale reale causale, 115f
estrazione di un polo multiplo, 131
estrazione di un polo semplice, 128
linearità, 121
notevole, 125
proprietà, 115
razionale, antitrasformata di una,
134
regione di convergenza, 113
regione di convergenza, 116
regole di calcolo, 121, 122t
unilatera, 116
trasformata zeta, 196, 353
analiticità della, 199
confronto con la trasformata di
Fourier, 204
e trasformata di Fourier, 202
esempi, 211t
espansione in frazioni parziali, 212
formula di inversione, 205
impulso delta, 209
impulso rettangolare, 210
linearità, 207
notevole, 209
proprietà, 198
razionale, antitrasformata di una,
214
regione di convergenza, 198
regole di calcolo, 206, 207t
relazione con la trasformata di
Laplace, 205
ribaltamento, 207
segnale a gradino, 209
segnale esponenziale, 210
unilatera, 198
trasformazione
V
a memoria finita, 240
a memoria infinita, 240
valore principale di Cauchy, 42
a più ingressi e più uscite, 285
variabili di stato, 20
a tempo continuo, 19
velocità del segnale discreto, 161
a tempo discreto, 19
causale, 239
classificazione, 235
continua, 233
di segnali, 232
discreta, 233
ibrida, 19, 233
invariante nel tempo, 243
invertibile, 235
istantanea, 239
lineare senza memoria, 282
lineare tempo-invariante (LTI),
vedi trasformazione LTI
lineare, 242, 246
lineare, nucleo di una, 248
lineare, rappresentazione di una,
247f
LTI (trasformazione lineare tempoinvariante), 251
LTI causale, 256
LTI nel dominio della frequenza,
259
LTI proprietà, 256
LTI reale, 259
LTI stabile, 258
LTI, autofunzioni, 261
LTI, regime sinusoidale, 263
LTI, risposta in frequenza, 259
puramente anticipatoria, 239
reale, 245
senza memoria, 239
stabile, 240
vettoriale, 285
traslazione
della convoluzione, 62
di un segnale continuo, 29, 36
in frequenza, trasformata di Fourier
della, 80
nel tempo, trasformata di Fourier della, 80